Liczby całkowite - definicja, zbiór ℤ i przykłady

Liczby całkowite to liczby …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Zbiór liczb całkowitych oznacza się zazwyczaj symbolem Z. W podręcznikach szkolnych używa się czasem symbolu C. Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym zbiorem zawierającym liczby naturalne, w którym można wykonywać działania dodawania i odejmowania. Zbiór ten dzieli się na podzbiór liczb naturalnych, tj. liczb całkowitych dodatnich, podzbiór liczb całkowitych ujemnych oraz podzbiór złożony ze zbioru jednoelementowego - z liczby zero. Prócz działań dodawania i odejmowania, na liczbach całkowitych jest określone jeszcze działanie mnożenia, natomiast dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze tych liczb, tzn. iloraz dwóch liczb całkowitych może nie być określony lub nie być liczbą całkowitą. Liczby całkowite stanowią pierścień względem działań dodawania i mnożenia. W arytmetyce teoretycznej występują dwie definicje liczb całkowitych:

Definicja Grassmanna liczb całkowitych. W zbiorze par (m, n) liczb naturalnych określa się relację: dwie pary (m, n) i (m’, n’) uważa się za równoważne, jeżeli spełniają warunek m+n’=n+m’. Relacja ta jest równoważnością, a zatem dzieli zbiór wszystkich par na rozłączne klasy; każdą z tych klas nazywa się liczbą całkowitą. Klasę, do której należy para (m, n), oznacza się symbolem m-n.

Przykłady liczb całkowitych

Liczbami całkowitymi są na przykład: $-100$, $-7$, $-1$, $0$, $5$, $42$, $1000$. Nie są liczbami całkowitymi ułamki ani liczby z przecinkiem, np. $\tfrac{1}{2}$, $0{,}75$, $-2{,}3$ czy $\sqrt{2}$ - to liczby wymierne lub niewymierne, ale nie całkowite.

Najważniejsze własności

• Suma, różnica i iloczyn liczb całkowitych są zawsze liczbami całkowitymi.
• Iloraz nie zawsze jest całkowity, np. $7 : 2 = 3{,}5$.
• Do każdej liczby $a$ istnieje liczba przeciwna $-a$, przy czym $a + (-a) = 0$.
• Każda liczba całkowita ma następnik $a+1$ oraz poprzednik $a-1$.

Miejsce wśród zbiorów liczbowych

Liczby całkowite zawierają liczby naturalne i mieszczą się w zbiorze liczb wymiernych oraz rzeczywistych:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$