Liczby dodatnie - co to są, przykłady i oznaczenia

Q: Czy zero jest liczbą dodatnią?

Nie. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne - to jedyna liczba rzeczywista bez znaku. Jeśli chcemy objąć zero razem z liczbami dodatnimi, mówimy o liczbach nieujemnych.

Q: Co to są liczby nieujemne?

Liczby większe lub równe zeru, czyli liczby dodatnie wraz z zerem: a ≥ 0. Zapisujemy je przedziałem langle 0, +∞).

Q: Czy wszystkie liczby naturalne są dodatnie?

W polskiej konwencji szkolnej N = \0, 1, 2, ...\ zawiera zero, więc nie wszystkie - zero jest naturalne, ale nie dodatnie. Zbiór naturalnych dodatnich oznaczamy N_+.

Q: Czy suma liczb dodatnich zawsze jest dodatnia?

Tak, podobnie iloczyn i iloraz. Jedynym działaniem, które wyprowadza poza liczby dodatnie, jest odejmowanie: 3 - 5 = -2.

Q: Jak zapisać zbiór liczb dodatnich?

Symbolem R_+ (lub R^+), przedziałem (0, +∞) albo warunkiem \x ∈ R : x > 0\.

Liczby dodatnie i pokrewne pojęcia

Liczba $a$ jest dodatnia, gdy $a > 0$ ; ujemna, gdy $a < 0$ .

Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne.

$a \text{ dodatnia} \iff a > 0, \qquad a \text{ nieujemna} \iff a \geq 0,$

$a \text{ ujemna} \iff a < 0, \qquad a \text{ niedodatnia} \iff a \leq 0.$

Oznaczenia zbiorów: $\mathbb{R}_{+}$ (liczby rzeczywiste dodatnie), $\mathbb{N}_{+}$ (naturalne dodatnie), $\mathbb{Z}_{+}$ (całkowite dodatnie).

Co to są liczby dodatnie

Liczba dodatnia to liczba większa od zera. Na osi liczbowej leżą one na prawo od zera, a w zapisie poprzedza je znak $+$ - zwykle pomijany, bo brak znaku domyślnie oznacza liczbę dodatnią.

Przykłady liczb dodatnich: $1$ , $7$ , $\tfrac{2}{3}$ , $0{,}001$ , $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $10^{100}$ .

Nie ma „najmniejszej liczby dodatniej”. Dla dowolnej liczby dodatniej $a$ liczba $\tfrac{a}{2}$ jest mniejsza i wciąż dodatnia - i tak w nieskończoność. Wśród liczb naturalnych najmniejszą dodatnią jest oczywiście $1$ .

Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne

To najczęstsze nieporozumienie w tym temacie. Zero jest dokładnie na granicy: nie jest większe od siebie samego, więc nie jest dodatnie, i nie jest mniejsze od siebie, więc nie jest ujemne. Zero to jedyna liczba rzeczywista, która nie ma znaku.

Jeżeli chcemy objąć zero razem z liczbami dodatnimi, używamy słowa nieujemne. To nie jest to samo co „dodatnie” - i właśnie ta różnica bywa punktowana w zadaniach.

Więcej o samym zerze: liczba zero.

Dodatnie, ujemne, nieujemne, niedodatnie

Cztery pojęcia, które łatwo pomylić - różnią się wyłącznie tym, czy zero należy do zbioru:

Liczby dodatnie - większe od zera: $a > 0$ . Zero nie należy.
Liczby ujemne - mniejsze od zera: $a < 0$ . Zero nie należy.
Liczby nieujemne - większe lub równe zeru: $a \geq 0$ . Zero należy.
Liczby niedodatnie - mniejsze lub równe zeru: $a \leq 0$ . Zero należy.

Zbiór liczb nieujemnych to zatem liczby dodatnie powiększone o zero, a zbiory liczb nieujemnych i niedodatnich mają dokładnie jeden wspólny element - zero.

Przedziałami zapisujemy to tak:

$\mathbb{R}_{+} = (0, +\infty), \qquad \mathbb{R}_{-} = (-\infty, 0),$

$\text{liczby nieujemne: } \langle 0, +\infty), \qquad \text{liczby niedodatnie: } (-\infty, 0\rangle.$

Nawias okrągły przy zerze oznacza, że zera nie bierzemy, ostry - że je bierzemy. Więcej: przedziały liczbowe.

Oznaczenia zbiorów liczb dodatnich

Dolny indeks $+$ przy symbolu zbioru oznacza jego dodatnią część, a indeks $-$ ujemną:

$\mathbb{N}_{+} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ - liczby naturalne dodatnie (w polskiej konwencji szkolnej $\mathbb{N}$ zawiera zero, więc rozróżnienie ma znaczenie),
$\mathbb{Z}_{+} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ - liczby całkowite dodatnie,
$\mathbb{Z}_{-} = \{\ldots, -3, -2, -1\}$ - liczby całkowite ujemne,
$\mathbb{Q}_{+}$ - liczby wymierne dodatnie,
$\mathbb{R}_{+}$ - liczby rzeczywiste dodatnie.

Spotyka się też zapis z indeksem górnym ( $\mathbb{R}^{+}$ ) - znaczy to samo. Zbiór liczb nieujemnych bywa oznaczany $\mathbb{R}_{+} \cup \{0\}$ albo $\mathbb{R}_{\geq 0}$ .

Przegląd wszystkich zbiorów liczbowych i ich symboli: zbiory liczbowe.

Działania na liczbach dodatnich

Trzy z czterech podstawowych działań nie wyprowadzają poza zbiór liczb dodatnich - suma, iloczyn i iloraz liczb dodatnich są zawsze dodatnie:

$a > 0 \ \wedge \ b > 0 \quad \Longrightarrow \quad a + b > 0, \quad a \cdot b > 0, \quad \frac{a}{b} > 0.$

Wyjątkiem jest odejmowanie: różnica dwóch liczb dodatnich może być dodatnia, zerowa albo ujemna - $5 - 3 = 2$ , $5 - 5 = 0$ , $3 - 5 = -2$ . Dlatego mówimy, że zbiór liczb dodatnich jest zamknięty na dodawanie, mnożenie i dzielenie, ale nie na odejmowanie.

Potęgowanie. Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi rzeczywistej pozostaje dodatnia: $a^x > 0$ dla każdego $a > 0$ . To właśnie dlatego funkcja wykładnicza nigdy nie przecina osi $OX$ , a logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich.

Pierwiastkowanie. Z liczby dodatniej pierwiastek dowolnego stopnia istnieje i jest dodatni. Z liczby ujemnej nie wyciągniemy (w liczbach rzeczywistych) pierwiastka stopnia parzystego.

Reguły znaków

Znak wyniku mnożenia i dzielenia zależy tylko od znaków argumentów:

$(+) \cdot (+) = (+)$ oraz $(-) \cdot (-) = (+)$ - jednakowe znaki dają wynik dodatni,
$(+) \cdot (-) = (-)$ oraz $(-) \cdot (+) = (-)$ - różne znaki dają wynik ujemny.

Dla dzielenia obowiązuje dokładnie ta sama reguła. Wniosek praktyczny: iloczyn kilku czynników jest dodatni dokładnie wtedy, gdy czynników ujemnych jest parzysta liczba.

Stąd też bierze się fakt, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny: $a^2 \geq 0$ , przy czym $a^2 = 0$ tylko dla $a = 0$ .

Liczby dodatnie na osi liczbowej

Oś liczbowa to prosta z ustalonym punktem zerowym, jednostką i zwrotem dodatnim. Liczby dodatnie leżą po stronie zwrotu (zwykle na prawo od zera), ujemne po przeciwnej.

Porządek na osi odpowiada nierównościom: im bardziej na prawo, tym liczba większa. Uwaga na liczby ujemne - $-7$ leży na lewo od $-2$ , więc $-7 < -2$ , choć siódemka jest większa od dwójki. Wartość bezwzględna mierzy odległość od zera niezależnie od strony:

$|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \geq 0, \\ -a & \text{dla } a < 0. \end{cases}$

Dla liczby dodatniej wartość bezwzględna jest więc równa samej liczbie: $|5| = 5$ .

Najczęstsze pytania

Czy zero jest liczbą dodatnią? Nie. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne - to jedyna liczba rzeczywista bez znaku. Jeśli chcemy objąć zero razem z liczbami dodatnimi, mówimy o liczbach nieujemnych.

Co to są liczby nieujemne? Liczby większe lub równe zeru, czyli liczby dodatnie wraz z zerem: $a \geq 0$ . Zapisujemy je przedziałem $\langle 0, +\infty)$ .

Czy wszystkie liczby naturalne są dodatnie? W polskiej konwencji szkolnej $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$ zawiera zero, więc nie wszystkie - zero jest naturalne, ale nie dodatnie. Zbiór naturalnych dodatnich oznaczamy $\mathbb{N}_{+}$ .

Czy suma liczb dodatnich zawsze jest dodatnia? Tak, podobnie iloczyn i iloraz. Jedynym działaniem, które wyprowadza poza liczby dodatnie, jest odejmowanie: $3 - 5 = -2$ .

Jak zapisać zbiór liczb dodatnich? Symbolem $\mathbb{R}_{+}$ (lub $\mathbb{R}^{+}$ ), przedziałem $(0, +\infty)$ albo warunkiem $\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$ .

Czy liczba dodatnia może być niewymierna? Oczywiście. Dodatniość dotyczy znaku, a wymierność sposobu zapisu - $\sqrt{2}$ i $\pi$ są dodatnie i niewymierne zarazem.

Podsumowanie

Liczba dodatnia to liczba większa od zera ( $a > 0$ ); na osi liczbowej leży na prawo od zera.
Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne - to jedyna liczba rzeczywista bez znaku.
Liczby nieujemne ( $a \geq 0$ ) to dodatnie wraz z zerem; liczby niedodatnie ( $a \leq 0$ ) to ujemne wraz z zerem.
Oznaczenia: $\mathbb{R}_{+}$ , $\mathbb{N}_{+}$ , $\mathbb{Z}_{+}$ , $\mathbb{Q}_{+}$ ; indeks górny $\mathbb{R}^{+}$ znaczy to samo.
Suma, iloczyn i iloraz liczb dodatnich są dodatnie - odejmowanie jako jedyne wyprowadza poza ten zbiór.
Iloczyn jest dodatni dokładnie wtedy, gdy czynników ujemnych jest parzysta liczba; stąd $a^2 \geq 0$ dla każdej liczby rzeczywistej.