matematyka.net

Historia matematyki.

Matematyka to rozległa i dość niejednorodna dziedzina wiedzy obejmująca tradycyjnie wiele węższych dyscyplin naukowych o specyficznej, bardzo różnorodnej tematyce i zróżnicowanych metodach badawczych. Nie istnieje zadowalające krótkie określenie matematyki. Można powiedzieć, że jest to dziedzina wiedzy zajmująca się badaniem pojęcia liczby, przestrzeni i zbieżności oraz pojęć pokrewnych i pomocniczych, ale ograniczenie się do takiej definicji nie oddaje sedna sprawy. Niezwykle istotną cechą matematyki jest to, że w przeciwieństwie do niemal wszystkich innych nauk, wszystkie jej twierdzenia muszą być sformułowane absolutnie precyzyjnie i logicznie udowodnione, a rezultaty w żadnej mierze nie zależą od modnych poglądów czy obserwacji przyrodniczych.

Matematyka rozwijała się w ciągu tysiącleci, rozszerzając swój zakres, wzbogacając problematykę, pogłębiając treść i doskonaląc formę, a nawet zmieniając swą nazwę. Rozwój matematyki nie zawsze był spokojny i systematyczny. Po okresach szybkiego wzrostu następowały wielowiekowe przestoje, a po nich gwałtowne zmiany w kierunku jej rozwoju. Niekiedy idee, wiodące zrazu do szybkiego rozkwitu, niosły w sobie równocześnie zarodki skostnienia i ograniczeń działających po pewnym czasie hamująco na dalszy postęp. Nierzadko też szły w zapomnienie mozolnie wypracowane techniki rachunkowe, wymyślne sposoby dowodzenia twierdzeń, całe rozdziały tej nauki o wyczerpanej lub przestarzałej tematyce. Dlatego też matematyka wymyka się wszelkim próbom jej zadowalającego zdefiniowania.

Czasy przedhistoryczne.

Matematyka rozwijała się w różnych częściach świata odrębnie i nierównomiernie. Jeśli przyjąć, że początkiem matematyki jest już pojawienie się myślenia matematycznego oraz zalążków pojęć leżących u podstaw tej nauki, to można uznać, że na terenie obecnej Europy dzieje matematyki rozpoczęły się już, być może, pod koniec epoki lodowcowej. Pojęciem wcześniejszym niż pojęcie liczby, jest równoliczność dwu zbiorów, polegająca na tym, że elementy jednego ze zbiorów da się przyporządkować w sposób wzajemnie jednoznaczny elementom drugiego. Uważa się wtedy, że jeden z tych zbiorów ma tyle elementów, co drugi. Tak bywało w pierwotnych formach handlu wymiennego (sztuka za sztukę), nie wymagających umiejętności liczenia. Można było bez niej utrwalić nawet liczebność jakiejś kolekcji, posługując się np. węzełkami na sznurku czy nacięciami na lasce. Takim dokumentem mogła być kość wilcza z wyżłobionymi regularnie 55 kreskami, znaleziona w 1937 roku na Morawach, pochodząca z ok. 30 tyś. lat p.n.e. Natomiast pojęcie liczby kształtowało się bardzo powoli. Jeszcze dziś istnieją języki, w których używa się tylko nazw liczb 1 i 2. Dużą rolę odegrały naturalne zworce, np. dłoń z pięcioma palcami. Jednakże umiejąc nazwać tylko liczby do 10 czy też do 20, niewiele można było w rachunkach osiągnąć. Pojęcie i nazwy większych liczb całkowitych dodatnich mogły się pojawić dopiero dzięki doniosłemu pomysłowi wiązania jednostek w grupy, traktowanych znów jako jednostki, lecz już wyższego rzędu, a tych z kolei - w jednostki rzędu jeszcze wyższego, podobnie jak drobne towary sprzedaje się na wiązki, pęczki, tuziny, kopy. I tak właśnie w różnych czasach i miejscach powstawały systemy liczbowe: dwudziestkowy - przez łączenie w grupy po 20, sześćdziesiątkowy i dziesiątkowy. Istnienie dziesiątkowego systemu liczbowego w krajach śródziemnomorskich poświadczają najstarsze znane dokumenty handlowe z III, a nawet z IV tysiąclecia p.n.e. Można mieć wątpliwość, czy była to już matematyka, ale wydaje się bezsporne, że bez elementarnej arytmetyki matematyka nie mogłaby osiągnąć swego obecnego kształtu, chociaż wiele jej ważnych działów obywa się dziś bez liczb. Zawiązków matematyki dopatrują się niektórzy historycy tej nauki już w geometrycznym zdobnictwie wyrobów człowieka z późnej epoki lodowcowej. Pomijając najdalej idące domysły, można jednak uznać sztukę prehistoryczną za świadectwo zainteresowań kształtem figur, symetrią i rytmem układów liniowych i dwuwymiarowych. Przedhistoryczne wykopaliska etruskie i celtyckie, pochodzące z epoki brązu, zawierają powtarzający się motyw foremnego dwunastościanu lub półforemnego sześcio-ośmiościanu (sześcian o narożach ściętych ścianami ośmiościanu). Odkrycie tych pięknych brył wyprzedza więc o wiele wieków pitagorejską teorię wielościanów foremnych i archimedesową - półforemnych.

Matematyka dawnego Egiptu.

Informacje o matematyce dawnego Egiptu zostały zaczerpnięte głównie z dwu zwojów papirusu o łącznej powierzchni ok. 2m², z paru drobnych fragmentów pism o treści matematycznej, nie licząc wniosków ze studnium nad zabytkami staroegipskiej architektury i sztuki zdobniczej. Zachowane teksty matematyczne zawiązują do stanu tej nauki w Egipcie w epoce Średnego Państwa, a więc bez mała 4 tys. lat temu. Treść nie przypomina dzisiejszych traktatów matematycznych czy nawet podręczników. Są to raczej zbiory zadań, wziętych przeważnie z praktyki, z rozwiązaniami, lecz bez ich uzasadnienia na konkretnych liczbach. Ze źródeł tych wynika, że Egipcjanie już wtedy umieli zapisywać liczby całkowite dodatnie, aż do dziesiątek milionów, oraz ich odwrotności, ułamki proste o liczniku 1, do których wliczano i ²/₃. Wyniki rachunków należało przedstawić w postaci sumy liczby całkowitej i różnych ułamków prostych. I tak np. wynik dzielenia 89 przez 29 zapisano by jako sumę liczb 3, ¹/₂₄, ¹/₅₈, ¹/₁₇₁, ¹/₂₃₂. Stosowano przy tym tradycyjną tablicę rozkładów sum ¹/_n+¹/_n na ułamki proste o różnych mianownikach. Umiejętność ta przetrwała nawet do znacznie późniejszych czasów. Swoista technika rachunku dawnych Egipcjan, polegająca głównie na pomysłowym wyzyskaniu podwajania i sumowania, była całkowicie odmienna od dzisiejszej. Zadania z obu papirusów prowadziłyby dziś do czterech działań lub równań pierwszego stopnia, najprostrzych równań drugiego stopnia i ciągów arytmetycznych oraz geometrycznych. W zasadzie geometrycznych stosowano, nie zawsze poprawnie, reguły obliczania pól trójkątów, trapezów i innych czworoboków, a także objętości najprostrzych brył.

Największyn jednak osiągnięciem był dobry przepis na objętość prostej piramidy ściętej o podstawie kwadratowej oraz zadziwiająco trafna metoda wyznaczania pola koła - aby wyliczyć pole koła, należało wziąć kwadrat o boku ⁸/₉ średnicy koła, co odpowiada wartości przybliżonej 3,16 liczby π, obarczonej błędem poniżej 1%. Nieznane było pojęcie kąta, ale posługiwano się jego tangesem w pewnych zadaniach mierniczych, co może świadczyć nawet o znajomości twierdzenia noszącego dziś imię Talesa. Znano być może także jakieś szczególne przypadki twierdzenia Potagorasa. Wobec ubóstwa źródeł pisanych nie ma podstawy, by ten obraz matematyki egipskiej uznać za pełny. Zabytki budownictwa zdają się temu raczej przeczyć. Pominąwszy różne spekulacje na temat słynnych piramid grobowych, należy wspomnieć chociażby o tym, że projektanci ozdobnych posadzek świątynnych wyczerpali wszystkie z 17 możliwych typów układu deseni płaskich, co mogło już świadczyć o znajomości pewnych tajników teorii grup, lecz nie miało to wpływu na dalsze dzieje matematyki. Tajemnicza liczba 17 pojawiła się w związku z teorią deseni dopiero w obecnym stuleciu. Wiadomo także ze źródeł starogreckich, że wiedza matematyczna Egipcjan była w Grecji oceniana wysoko, a do Egiptu jeżdżono, by tam się matematyki uczyć.

Matematyka Sumerów i Babilończyków.

Ulepszone przez semickich Akadów pismo sumerskie, używane ok 4 tys. lat temu, zawierało tylko dwa podstawowe znaki cyfrowe: pojedyncze kliny ostre i kliny rozwarte. Klin ostry oznaczał liczbę 1, a powtarzając do w grupach aż do dziewięciu otrzymywało się odpowiedniki obecnych cyfr od 2 do 9; klin rozwarty oznaczał 10 i jego powtórzenia dawały liczby 20, 30, 40, 50, ale 60 oznaczano znowu linem ostrym, który w zależności od pozycji w zapisie liczby mógł oznaczać także 3600, 216000, ... lub ¹/₆₀, ¹/₃₆₀₀, ... Podobnie i klin rozwarty mógł oznaczać liczbę 10 pomnożoną lub podzieloną przez jakąkolwiek potęgę liczby 60. I tak np. 7 klinów ostrych, 3 rozwarte i 9 ostryc mogło oznaczać 7*60+3*10+9, ale także 7*3600+³/₆+⁹/₂₁₆₀₀₀, nie było bowiem znaku oddzielającego część całkowitą liczby od części ułamkowej oraz znaku zera, który został wprowadzony dopiero w czasach hellenizmu. Mimo tej niedoskonałości systemu liczbowego, Babilończycy rachowali podobnie jak my, w systemie dziesiątkowym, nie wychodząc jednak poza liczby wymierne postaci n/60^k, n i k - naturalne.

Dadawanie i odejmowanie były łatwe, ale już mnożenie opierało się na bardzo obszernych tablicach iloczynów liczb od 2 do 59. Dzielenie, ujęte w odrębne tablice, nie zawsze było wykonalne, np. 3:7 - wtedy rachujący musiał się zadowalać wynikami przybliżonymi, jak i my w rachunku na ułamkach dziesiętnych. Uważa się, że Babilończycy, choć ustępowali Egipcjanom w dziedzinie geometroo, to jednak przewyższali ich w algebrze - rozwiązywali bowiem zadania prowadzące do równań drugiego stopnia i wyższych, stosowali pomysłową metodą przybliżonego wyciągania pierwiastków kwadratowych, znając tzw. trójki pitagorejskie liczb całkowitych, przedstawiające długości boków trójkątów prostokątnych. Odczytane otychczas tabliczki o treści matematycznej były albo tablicami ułatwiającymi rachunki, albo też miały cel dydaktyczny - podawały uczniom gotowe przepicy na rozwiązywanie zadań pewnych typów. Nie mówiąc nic o tym, czy nauczyciele dodawali od siebie jakieś wyjaśnienia i uzasadnienia metod rachunku. Po czasach rozkwitu matematyki w starym państwie babilońskim nastąpił w Mezopotamii około tysiącletni okres, z którego - podobnie jak w Egipcie - nie ma znaczących przekazów matematycznych. Był to okres niepokojów i wojen, po którym odrodzenie kultury Mezopotamii nastąpiło dopiero w okresie hellenizmu. W przeciwieństwie do udokumentowanych związków matematyki greckiej z wiedzą dawnego Egiptu, nie został jeszcze całkowicie wyjaśniony wpływ matematyki starobabilońskiej. Dowodem jego istnienia jest chociażby stosowana obecnie rachuba czasu i podział kąta pełnego na stopnie, minuty i sekundu, oparte na sześćdziesiątkowym systemie numeracji.

Matematyka w czasach greckich i hellenistycznych.

Wielkie ożywienie w dziejach matematyki nastąpiło wraz z rozwojem matematyki w Grecji i greckich koloniach wokół Morza Śródziemnego. Mądrość kapłanów i urzędników staroegipskich i babilońskich była anonimowa. W Grecji po raz pierwszy pojawili się twórcy nauk znani z nazwiska i osobistych sukcesów. Listę ich otwiera Tales z Miletu (VII/VI w. p.n.e.), podobno autor pierwszych dowodów geometrycznych, biegły także w zastosowaniu geometrii. Pitagorasowi (VI w. p.n.e.) i jego uczniom (pitagorejczykom) przypisuje się pierwsze definicje pojęć matematycznych, sformułowanie twierdzeń i abstrakcyjne dowody. Prawdopodobnie dzięki nim właśnie skrystalizowało się wiele podstawowych pojęć geometrii elementarnej, będącej obecnie przedmiotem nauczania w szkole średniej. Mniejsze już dziś znaczenie mają pitagorejskie badania liczb naturalnych, wiążące się z teorią muzyki i ze spekulacjami filozoficznymi. Ale właśnie pitagorejczykom przypisuje się odkrycie, w końcu V w. p.n.e., istnienia w idealnym świecie geometrii pary odcinków współmiernych, których stosunek długości nie da się wyrazić stosunkiem (ilorazem) liczb naturalnych, a więc jedynych, jakie były znane w starożytności. To obaliło wiarę w możliwość stosowania liczb do mierzenia długości odcinków przy danej jednostce długości. Dlatego w nauce zastąpiono liczby stosunkami wielkości takimi, jak odcinki, figury płaskie, bryły (tj. ich długości, pola, objętości). Źródła starogreckie wymieniają Eudoksosa z Knidos jako twórcę teorii stosunków - wiadomo jednak, że rozwijało ją dalej wielu jego następców. Jej kształt ostateczny jest zawarty w słynnych Elementach Euklidesa (ok. 300r. p.n.e.) i w tej formie zachowała się przez wiele wieków. Stosunek np. odcinka A do odcinka B uważa się tam za równy stosunkowi odcinka C do odcinka D, jeżeli dla dowolnych liczb naturalnych (całkowitych dodatnich) m i n jest albo mA<nB i jednocześnie mC<nD, albo mA=nB i mC=nD, albo też mA>nB i mC>nD. Podobie za pomocą liczb naturalnych określa się mniejszość i większość w zakresie stosunków wielkości. Pomysł Eudoksosa pozwala np. stwierdzić, że stosunek przekątnej kwadratu do jego boku, przedstawiany dziś liczbą , równa się takiemu stosunkowi w dowolnym innym kwadracie. Jest rzeczą sporną, czy owe stosunki wielkości są, i w jakim stopniu, odpowiednikami nowoczesnych liczb rzeczywistych dodatnich. W każdym razie teoria stosunków usunęła trudności, które wystąpiły w teorii mierzenia i umożliwiła świetne osiągnięcia geometrii starogreckiej. Z czasem jednak ograniczenie się w nauce do liczb naturalnych stało się czynnikiem hamującym jej rozwój. Dopiero czasy nowożytne przyniosły nowe spojrzenie na liczbę i znaczne rozszerzenie tego pojęcia. Dało to możliwość zastąpienia stosunków wielkości ilorazami ich miar i istotnego uproszczenia aparatu matematycznego geometrii. Elementy zawierają rozwiązania innych jeszcze, doniosłych o niełatwych zadań geometrycznych, jak zamiana dowolnego wieloboku na kwadrat o tym samym polu, jak wyznaczenie objętości ostrosłupa i stożka oraz stosunku objętości dwu kul o danym stosunku promieni. To ostatnie np. rozwiązał Euklides sposobem pochodzącym jeszcze od Eudoksosa, zwanym później metodą wyczerpywania. Zręczny dowód przez doprowadzenie do niedorzeczności kryje w sobie utajoną ideę zastępowania obu kul podobnymi wielkościami o tym samym stosunku wymiarów i powierzchniach dowolnie bliskich powierzchniom kul. Skoro odpowiednik twierdzenia jest słuszny w odniesieniu do wielościanów, to powinien się zachować i dla przybliżanych nimi kul. Taki proces myślowy, typowy dla nowoczesnej analizy matematycznej, był prawdopodobnie dobrze znany w epoce Euklidesa jako droga wiodąca do twierdzeń, które, już gotowe, były w dziełach naukowych dowodzone później metodą nie wprost. W sposób mistrzowski metodę wyczerpywania stosował Archimedes z Syrakuz (III w. p.n.e.), jeden z największych uczonych starożytności. Archomedes dowiódł np., że pole koła równa się polu trójkąta, którego podstawa ma długość obwodu koła, a wysokością jest promień. Obliczył pola odcinka paraboli i obszaru, którego brzeg ograniczony jest częściowo spiralą Archomedesa. Wyznaczył objętość odcinka paraboloidy obrotowej. Dowiódł, że pole powierzchni kuli jest czterokrotnie większe od pola koła o tym samym promieniu, a objętość kuli wynosi ²/₃ objętości walca na niej opisanego. Podał ścisłą metodę wyznaczania stosunkuobwodu koła do jego średnicy, polegającą na przybliżeniu okręgu wielobokami foremnymi wpisanymi lub opisanymi, o dużej liczbie boków.Dla 96 boków otrzymał granice stosunku, które dawały ocenę 3¹⁰/₇₁<π<3¹/₇, znacznie jeszcze ulepszoną w późniejszych czasach przez zwiększenie liczby wierzchołków wielokątów, o których mowa. Było to pierwsze w dziejach matematyki podejście do trudnego problemu określania i wyznaczania długości lini krzywych, których w czasach już nowożytnych zaatakowano bardziej ogólnymi metodami rachunku całkowego, podobnie jak obliczanie pól i objętości. Apoloniusz z Pergi (III w. p.n.e.) stworzył i szeroko rozwijał teorię krzywych płaskich drugiego stopnia (stożkowych), wyprzedzając w znacznym stopniu to, co w czasach nowych osiągnięto kartezjańską metodą współrzędnych. Doniosłość dzieła Apoloniusza ujawnił pomysł niemieckiego astronoma i matematyka J.Keplera (XVI/XVII w.), który po raz pierwszy zastosował stożkowe w astronomii matematycznej w swych słynnychprawach ruchu planet, upraszczając jego dawniejszy opis za pomocą epicykli i przygotowując podstawę dla ogólnego prawa grawitacji angielskiego fizyka i matematyka I.Newtona (XVI/XVII w.). Trzy wielkie zagadnienia geometrii greckiej: trysekcja kąta, podwojenie sześcianu i kwadratura koła za pomocą cyrkla i linijki (które dopiero w XIX wieku doczekały się rozstrzygnięcia negatywnego), doprowadziły Greków do odkrycia ciekawych krzywych algebraicznych lub przestępnych, które dołączone do klasycznego zestawu platońskich narzędzi kreślarskich dawały możliwości pozytywnego, choć nie klasycznego rozwiązania. W czasach późniejszych rozwijał się w świecie hellenistycznym kierunek arytmetyczny i algebraiczny, problemy teorii liczb, równania diofantyczne, aparat matematyczny astronomii. Większość wybitnych twórców działała w Aleksandrii. Do najwybitniejszych należeli: Heron (I w. n.e.), Ptolemeusz Klaudiusz (II w. n.e.), Diofantos (II w. n.e.), Pappus (IV w. n.e.). Stopniowo jednak wygasał ruch naukowy zapoczątkowany w VI w. p.n.e. Wyczerpywała się tematyka, nie sprzyjała dalszemu rozwojowi metod badawczych teoria stosunków Eudoksosa, a także nieporęczny w rachunkach literowy sposób zapisywania konkretnych liczb. Rozszerzał się natomiast zasięg wpływó matematyki hellenistycznej na środkowy i daleki Wschód, gdzie wzbogacała się ona tradycjami lokalnymi.

Czasy nowe.

Wzbogacona o elementy orientalne powróciła matematyka hellenistyczna do Europy za pośrednictwem Arabów. Były to najpierw liczby całkowite w dziesiątkowym systemie liczbowym, z użyciem cyfr arabskich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9,pochodzących z Indii. W czasach odrodzenia posługiwano się liczbą swobodniej i śmielej niż w starożytności.Stosunki wielkości, choćby niewspółmiernych, zaczęto traktować wprost jak liczby, mimo że natura takich liczb była długo jeszcze niejasna. Był więc liczbą stosunek przekątnej kwadratu do jego boku wziętego za jednostkę. Co więcej, nie troszcząc się o logiczne wyjaśnienie, wprowadzono różne typy liczb "fikcyjnych" (jak liczby ujemne i urojone), co umożliwiło szybki rozwój algebry w XVI wieku, kiedy to za ich pomocą matematycy włoscy (G.Cardano, N.Tartaglia, L.Ferrari i inni) znaleźli ogólne rozwiązania równań algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia. Pod koniec XVI wieku zaczęły się pojawiać bardzo dokładne tablice funkcji trygonometrycznych. Matematyk francuski F.Viete podał trygonometryczne rozwiązanie równania trzeciego stopnia, mające zastosowanie także w przypadku nieprzewidywalnym, gdzie wzory czysto algebraiczne nie dawały si stosować. On też wprowadził literowe oznaczenia współczynników równań w miejsce uciążliwych opisów słownych, co przespieszyło wydatnie dalszy rozwój algebry. W początkach XVII wieku powstały bardzo dokładne tablice logarytmów dziesiętnych jako narzędzie techniki obliczeń. Bardziej jeszcze tajemnicze niż pojęcie liczby rzeczywistej były pojęcia nieskończonościowe, leżące u podstaw powstającej w XVII wieku analizy matematycznej. Nieskończenie małe kawałki linii krzywych były już proste i wyznaczały kierunki stycznych, iloraz nieskończenie małego przemieszczenia do nieskończenie krótkiego czacu, w jakim się dokonało, był chwilową prędkością punktu materialnego. Figurę płaską ograniczoną liniami krzywymi dzielono w myśl na nieskończenie wiele nieskończenie wąskich pasków prostokątnych, których nieskończenie małe pola dawały w sumie (nieskończonej) pole danej figury. Nie było to ani jasne, ani precyzyjne, ale doprowadziło do rozwinięcia potężnej techniki rachunku różniczkowego i całkowego (I.Newton, G.W.Leibniz oraz bracia Jacob i Johann Bernoulli), dzieki której matematyka znalazła szerokie zastosowanie w mechanice i astronimii, i do rozwoju wielu gałęzi nowoczesnej analizy matematycznej. W ciągu XVII wieku, wypełniając program Kartezjusza stosowania rachunku w geometrii, doprowadzono do powstania geometrii analitycznej w jej obecnym kształcie. Zapoczątkowano także rachunek prawdopodobieństwa (matematycy francuscy P. de Fermat i B.Pascal).

O systemach niedziesiątkowych. Trzy "wynalazki" zera.

System zapisywania liczb, którym się wszyscy posługujemy, nie powstał w Europie, ale został wynaleziony przez Hindusów. Nosi on nazwę: dziesiątkowy (dziesiętny) system numeracji. Jest to system numeracji pozycyjny, w którym występują cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Wyraz "pozycyjny" oznacza, że wartość cyfry zależy od pozycji, tzn. miejsca, na którym zapisana jest dana cyfra. Widać to z zapisów takich liczb, jak np.: 2, 23, 210, 22548. Cyfra 2 ma w każdej z tych liczb (a nawet w tej samej liczbie) inną wartość. Łatwo zrozumieć, że pozycyjny system numeracji mógł powstać dopiero wtedy, gdy zostało "wynalezione" zero pozycyjne, oznaczające brak jednostek danego rzędu. Najstarszy znak zera pojawił się jeszcze przed naszą erą. U Babilończyków stosowany był system numeracji oparty na liczbie sześćdziesiąt. Przy zapisie liczby 3602=60²+2 dla zaznaczenia, że brak w tej liczbie "sześćdziesiątek" (najmniej jednej, a najwięcej pięćdziesięciu dziewięciu) robiono w zapisie klinowym mały odstęp. Ale mogło się przecież zdarzyć, że brakowało (w środku liczby albo na jej końcu) dwóch kolejnych potęg liczby 60, np. 21603=60³+0*60²+0*60¹+3; wówczas należało zastosować większy odstęp, co mogło powodować nieporozumienia. Wynaleziono więc znak, wyrażający brak jednostek odpowiedniego rzędu, w postaci dwóch małych, ukośnie umieszczonych znaków. Jest to najstarszy zapis zera - powstał on w początkach epoki Seleucydów, dynastii panującej w latach 312-64 p.n.e. w monarchii syryjskiej.

Drugim - historycznie rzecz biorąc - znakiem zera było coś, co przypominało skorupkę ślimaka, albo jak inni twierdzą półotwarte oko; zostało ono użyte w zapisach po raz pierwszy około 500 roku n.e. przez indiańskie plemię Majów, które zamieszkiwało Gwatemalę, część Hondurasu oraz południowo-wschodnią część Meksyku. Posługiwali się oni układem dwudziestkowym. Niestety oba te "wynalazki" zera miały znaczenie wyłącznie lokalne i tym samym nie odgrywały żadnej roli w rozwoju uproszczenia zapisu liczb. 

Trzeci w kolejności historycznej "wynalazek" zera miał miejsce w Indiach. Nie można ustalić zupełnie dokładnej daty tego faktu o zasadniczym znaczeniu dla powstania pozycyjnego systemu dziesiętnego, ułatwiającego niezwykle sposób zapisywania liczb, jak i wykonywania na nich działań. Pewne jest jedynie, że matematyk hinduski Aryabhata (ur. w 475 r.n.e.) w swoim dziele pt. Surya Siddhanta używa terminu siunia (sunya), który oznaczał nic, pustkę. Ciekawe, że w Indiach - oprócz zapisu cyfrowego - często stosowano słowny system oznaczeń liczb; wówczas "zero" wyrażano opisowo przy pomocy słów: puste, niebo, dziura, "jedność" - przy pomocy słów używanych tylko w liczbie pojedynczej, jak np. ziemia, księżyc, "dwa" - słowami oczy, bliźnięta, wargi, "cztery" - strony świata, itp. W wieku VIII n.e. dokonano przekładów hinduskich dzieł na język arabski; wyraz sunya przyjął wtedy nazwę arabską sifr. Z kolei przy przekładach z arabskiego na łacinę wyraz sifr przyjął postać ciffra, stąd pochodzi niemieckie słowo Ziffer i polskie cyfra, które w pierwszym okresie używane było w sensie: zero. Pierwszy jednak zapis symbolu zera, znaleziony w ściennej inskrypcji w Gwaliorze (Indie) pochodzi dopiero z r. 876 n.e. Stosunkowo niedawno (1959r.) pojawił się pogląd, że "wynalazek" zera nie został dokonany w Indiach, ale na granicy kultur chińskiej i indyjskiej, a raczej indonezyjskiej. Jako dowody służą znalezione w Kambodży i Indonezji dużo wcześniejsze zapisy pochodzące z lat 683 i 686 n.e., w których znakiem zera jest kropka i małe kółko. Jak oceniano pojawienie się indyjskiego dziesiętnego systemu pozycyjnego, niech świadczy pochodzący z r 662 n.e. rękopis Sewera Sebochta, chrześcijańskiego biskupa syryjskiego z siedzibą w jednym z klasztorów nad górnym Eufratem, w którym czytamy: "Nie będę się zatrzymywał nad nauką Hindusów... nad ich systemem liczenia, przewyższającym wszystko co da się opisać. Chcę tylko powiedzieć, że liczenie odbywa się przy pomocy dziesięciu znaków...". Cyfry 1, 2, ..., 9 i zero wynalezione przez Hindusów nazywamy cyframi arabskimi, niewątpliwą ciekawostką jest więc fakt, że sami Arabowie nazywali je indyjskimi, a całą arytmetykę opartą na układzie dziesiętnym - rachunkiem indyjskim. Podboje arabskie całej północnej Afryki oraz części Hiszpanii, a nawet części Francji spowodowały rozpowszechnienie się dziesiątkowego systemu pozycyjnego najpierw w podbitej części Europy, a następnie stopniowo w całej Europie. Najstarszy znany w Europie zapis liczby w pozycyjnym układzie dziesiątkowym odkryto na monetach wybitych przez Rogera z Sycylii - jest to rok 1138. Pierwsze monety z cyframi hinduskimi pojawiły się we Francji w 1485r., w Niemczech lata później, w Polsce w 1506r., w Anglii w 1551r., w Rosji w 1655r.

Ponieważ w pozycyjnym systemie dziesiątkowym jako układ jednostek przyjęto ciąg kolejnych potęg liczby 10, nazywanej podstawą numeracji 10⁰=1, 10¹=10, 10²=100, 10³=1.000, 10⁴=10.000, ... więc przyjmując jako podstawę nowej numeracji jakąkolwiek liczbę dodatnią całkowitą, tzn. naturalną, ale różną od jedności - oznaczmy ją przez g - możemy utworzyć w tym nowym systemie ciąg kolejnych potęg liczby g: g⁰=1, g, g², g³, g⁴, ... Stanowią one układ jednostek w systemie pozycyjnym o podstawie równej g. Cyframi w tym układzie są 0, 1, ..., g-1. A więc w systemie dwójkowym jedynymi cyframi są 0, 1; w systemie trójkowym są cyfry 0, 1, 2; w systemie czwórkowym 0, 1, 2, 3; itd., a w systemie np. trzynastkowym cyframi są 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C; gdzie A, B, C oznaczyliśmy jednym znakiem kolejne cyfry systemu trzynastkowego, odpowiadające 10, 11, 12. Nazwę takiego systemu numeracji opatruje się dodatkowym wyrazem: jednorodny, w odróżnieniu od systemów numeracji niejednorodnych, w których jako układ jednostek numeracji przyjmuje się ciąg liczb całkowitych g₀, g₁, g₂, ..., g_k, g_k+1, ... gdzie g₀=1, a każda zaś następna jednostka g_k+1 powstaje z poprzedzającej ją g_k poprzez pomnożenie jej przez dowolną liczbę naturalną p_k różną od 1: g_k+1=g_k*p_k nazywaną podstawą k-tego rzędu.

Pozycyjny system dwójkowy. Odgadywanie pomyślanej liczby.

Systemem pozycyjnym o najmniejszej liczbie cyfr jest oczywiście system dwójkowy, w którym jedynymi cyframi są 0, 1. Tak więc przykładowo 210=1*2¹+0*2⁰=10₂, 3₁₀=1*21+1*20=11₂, 4₁₀=1*2²+0*2¹+0*2⁰=100₂, ..., 8₁₀=1*2³+0*2²+0*2¹+0*2⁰=1000₂, a już czterocyfrowa liczba 1024 w systemie dwójkowym wyraża się jako 1024=2¹⁰=10.000.000.000₂. Łatwo zauważyć, że w systemie dwójkowym użyć należy wyraźnie więcej cyfr do zapisu danej liczby niż w systemie dziesiątkowym (na ogół 2 do 3 razy więcej). Jest to niewątpliwie jego wagą, natomiast zaletą, której nie ma żaden inny układ pozycyjny, jest fakt, że na każdym miejscu w zapisie liczby w systemie dwójkowym są tylko dwie możliwości. Nasunęło to pionierom elektronicznych maszyn cyfrowych ideę wykorzystania do tego zapisu lamp elektronowych, które mogą albo przewodzić prąd (odpowiednik cyfry 1), albo nie przewodzić (cyfra 0). I w ten sposób system dwójkowy znalazł niezwykle ważne zastosowanie. Interesujące jest, że już Leibnitz przywiązywał dużą wagę do systemu dwójkowego, podobnie jak francuski matematyk Legendre. Rycina to rysunek wykonany przez Leibniza, przedstawiający liczby od 0 do 17 w systemie dwójkowym. Zacytujmy jeszcze nazwy kilku początkowych liczb w języku wedau, używanym na Nowej Gwinei:
1 - tarogi
2 - ruaga
3 - tonug'a
4 - ruag'a-ma-ruag'a
W nazwie czterech widoczne dwie dwójki, jakby ślad dawnego układu dwójkowego.

A oto jedno z zastosowań układu dwójkowego do odgadywania pomyślanej liczby. Prosimy kogoś, aby pomyślał sobie jakąś liczbę całkowitą od 1 do 63, a następnie podajemy mu sześć kartek zamieszczonych poniżej, z prośbą, aby przejrzał je i doręczył nam te kartki, na których znajduje się pomyślana liczba.

Biorąc je do ręki przyglądamy się im kolejno - pozorując w ten sposób, że szukamy wspólnej liczby z doręczonych kartek - sumując jednocześnie pierwsze liczby zapisane w pierwszym wierszu z tych kartek. Otrzymana suma jest właśnie pomyślaną liczbą.

Układy addytywne i pozycyjne.

Układami numeracji nazywać będziemy w naszych rozważaniach umowne sposoby symbolicznego przedstawiania różnych wartości liczbowych, przy użyciu stosunkowo różnych znaków graficznych zwanych cyframi. W ciągu minionych wieków u różnych plemion i narodów w różnych okresach stosowano rozliczne układy numeracji. Wyróżniamy tutaj układy numeracji addytywne, w których zapis symboli umieszczonych kolejno obok sienie ma wartość równą sumie poszczególnych znaków liczbowych - przedstawienie więc znaków cyfrowych w tych układach numeracji nie zmienia wartości liczbowej zapisu. Ale i addytywne układy numeracji mogą się jeszcze między sobą różnić. Tak np. w hieroglificznym zapisie egipskim (a więc w najstarszym okresie) odrębne znaki istniały tylko dla jednostki, dziesiątki, setki, tysiąca, dziesięciu tysięcy, stu tysięcy, miliona i dziesięciu milionów, i znaki te mogły być używane - w zależności od potrzeby - wielokrotnie obok siebie, dokładniej od jednego do dziewięciu razy. Tak więc zapis liczby 564 w hieroglificznym układzie numeracji zawierał 5+6+4=15 znaków. Układy numeracji o takich właściwościach nazywamy homogenicznymi układami addytywnymi (homogeniczny (gr) - należący do tego samego rodzaju, jednorodny).

Natomiast w hieratycznej numeracji egipskiej, powstałej kilka wieków później i stosowanej przez wiele wieków równolegle z numeracją hieroglificzną, istniały odrębne znaki dla każdej liczby jedności (a więc dla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9), odrębne znaki dla każdej liczby dziesiątek (dla 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 i 90), odrębne dla serek (100, 200, ..., 900), itd. Powodowało to, że w zapisie każdej liczby występowały tylko różne znaki, tak więc zapis tej samej liczby 564 w hieratycznym układzie numeracji składał się z trzech znaków. Był to więc znacznie ekonomiczniejszy sposób zapisywania liczb. Układy numeracji o takiej właściwości nazywano heterogenicznymi układami addytywnymi (heterogeniczny (gr) - należący do innego rodzaju, niejednorodny). Taki układ numeracji stosowano również w Grecji, gdzie liczba jednostek, dziesiątek i setek zapisywana była literą alfabetu z kreseczką u góry.

Ale oprócz addytywnych układów numeracji spotyka się także układy numeracji, w których wartość znaków cyfrowych jest zależna od ich położenia, bądź względem sąsiadujących znaków, bądź też względem końca zapisu. Oba te rodzaje układów numeracji noszą wspólną nazwę układów pozycyjnych. Jako przykład pierwszego z dwóch wyróżnionych układów numeracji pozycyjnych niech posłuży znana numeracja rzymska, w której umieszczenie np. znaku jedynki po dowolnym znaku oznacza, że jedynkę należy dodać do poprzedzającej ją większej liczby: VI=5+1, XI=10+1, LI=50+1, CI=100+1; ogólnie: umieszczenie znaku o mniejszej wartości po znaku o większej wartości, jak np.: LV=50+5, CX=100+10, MC=1000+100; oznacza, że do większego poprzednika należy dodać mniejszy następnik, natomiast umieszczenie znaku o mniejszej wartości przed znakiem o większej wartości oznacza, że od większej należy odjąć mniejszą wartość. A oto przykłady: IV=5-1, XL=50-10, XC=100-10, CD=500-100.

Podobną własność miała numeracja etruska, z której powstała numeracja rzymska. Są to jedyne znane przykłady tego rodzaju układu numeracji pozycyjnej, który nazywano dodatkowym mianem: sekwencyjny. Drugim rodzajem układów numeracji pozycyjnych są tzw. układy wagowe. Pozycyjne wagowe układy numeracji powstały w związku z rozwiązaniem pewnych zagadnień teoretycznych, wynikłych przy konstrukcji maszyn cyfrowych; ze względu jednak na zmienny układ wag nie nadają się do zwykłych obliczeń. Największe znaczenie praktyczne ma tutaj tzw. dwójkowy kod Greya - wykorzystujący tylko dwie cyfry 0 i 1 - w którym zapisy dwóch kolejnych liczb różnią się tylko jedną pozycją. A oto próbka dwójkowego kodu Greya:
0 oznacza się symbolem 0,
1 oznacza się symbolem 1,
2 oznacza się symbolem 11,
3 oznacza się symbolem 10,
4 oznacza się symbolem 110,
5 oznacza się symbolem 111,
6 oznacza się symbolem 101,
7 oznacza się symbolem 100.