Papirus Ahmesa. Szkoła pitagorejska i twierdzenie Pitagorasa.
Papirus Ahmesa.
Znajomość liczb naturalnych: jeden, dwa, trzy itd. jest u wielu ludów, stojących nawet na bardzo niskim poziomie rozwoju, tak dawna, że jest rzeczą niemożliwą ustalić chociaż w przybliżeniu daty powstania tych pojęć. Wiadomo jednak z zachowanych dokumentów, że już na kilka tysięcy lat przed naszą erą niektóre ludy, jak np. Sumerowie (zamieszkujące tereny południowego Iraku) lub Egipcjanie potrafili zapisywać bardzo wielkie liczby. Narodem, który najbardziej lubował się w ogromnych liczbach, byli Hindusi. Używali oni nazw dla liczb co najmniej do 1053 (tallakszana). Tak np. w prastarym eposie Mahabharata (powstałym jako dzieło wielu pokoleń najprawdopodobniej od IV w. p.n.e. do IV w. n.e.) wspomina się, że liczba bogów miała wynosić 20*1015, jak również o tym, że Budda (VI-V w. p.n.e.) miał 600.000.000.000 synów.
Kiedy odkryto ułamki? Na to pytanie również nie jesteśmy w stanie odpowiedzieć. W każdym razie połowa i ćwierć są z całą pewnością najwcześniej poznanymi ułamkami. Sięgnijmy teraz w głąb historii i zapoznajmy się - choćby pobieżnie - z tym, co o ułamkach mówi jeden z najstarszych dokumentów matematycznych świata.
Jest to papirus, który został znaleziony w ruinach starożytnego miasta egipskiego Teby (górny Egipt - w pobliżu dzisiejszego Luksoru) w połowie zeszłego wieku i zakupiony przez Rhinda; dlatego często nazywany bywa papirusem Rhinda. Zapisany jest czarnym i czerwonym tuszem po jednej stronie w całości, po drugiej częściowo. Papirus ten ma przeszło 5,5m długości i około 30cm szerokości. Trudności związane z jego odczytaniem pokonali wspólnie egiptolog Eisenlohr i historyk matematyki M. Cantor. Pisał ten dokument pewien Ahmes, który jednak nie jest autorem treści, lecz tylko tym, który "pisał kopię tę", jak sam podaje w przedmowie; mimo to papirus ten często nazywany jest także papirusem Ahmesa. W papirusie tym w wielu obliczeniach występują ułamki, przy czym - co ciekawe - w większości operowano ułamkami o licznikach równych jedności, a więc postaci 1/n, a ułamki nieskracalne o licznikach różnych od jedności starano się rozłożyć na sumę różnych ułamków o licznikach równych jedności; ułamki o liczniku równym jedności nazywać będziemy dalej ułamkami prostymi. W papirusie Ahmesa znajdujemy takie rozkłady, jak np 2/7=1/4+1/28 lub 2/13=1/8+1/52+1/104.
Szkoła pitagorejska.
Problematyka ta przedostała się w późniejszych czasach z Egiptu do Grecji, gdzie jednak również arytmetyka nie wzniosła się na wyższy poziom. Duża zmiana nastąpiła dopiero w VI w. p.n.e., tzn. w okresie, gdy Pitagoras (ok. 570-500r. p.n.e.) założył związek, zwany od niego pitagorejskim. Związek ten zajmował się początkowo przeważnie zagadnieniami religijno-etycznymi, jednak z biegiem lat stał się ośrodkiem badań naukowych, szczególnie w takich dziedzinach, jak matematyka, astronomia i filozofia. Co stworzył sam Pitagoras, a co jego uczniowie, trudno jest dzisiaj dociec, gdyż późniejsi pitagorejczycy niejednokrotnie własne pomysły przypisywali swemu mistrzowi, popierając je w ten sposób jego autorytetem.
Pitagorejczycy doszukiwali się zależności między liczbami a pewnymi własnościami przedmiotów konkretnych albo też abstrakcyjnych. Ustalili oni następującą odpowiedniość pomiędzy liczbami od 1 do 10 a własnościami, które - w miarę wzrostu liczb - jak gdyby coraz bardziej się komplikowały: liczba 1 oznacza punkt, 2 - linię, 3 - figurę geometryczną płaską, 4 - bryłę geometryczną trójwymiarową, 5 - własność ciał fizycznych, najczęściej barwę, 6 - życie, 7 - duszę, 8 - miłość, 9 - roztropność, sprawiedliwość, 10 - doskonałość Wszechświata. Liczbę 10 uważali pitagorejczycy za najdoskonalszą, gdyż jest ona równa sumie początkowych liczb: 1+2+3+4=10.
Tego rodzaju spekulacje myślowe nie rozwijały oczywiście nauki i nie ta część działalności pitagorejczyków jest najważniejsza. Przełomowe, jeśli chodzi o rozszerzenie znajomości własności liczb, okazało się natomiast "twierdzenie Pitagorasa", jako z najbardziej znanych obecnie twierdzeń w geometrii.
Twierdzenie Pitagorasa.
Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej równa się sumie kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.
Jeżeli długość przyprostokątnych trójkąta oznaczymy przez a i b, a długość przeciwprostokątnej przez c, to twierdzenie Pitagorasa da się zapisać w postaci wzoru
c2=a2+b2.
Tak więc, aby obliczyć np. przeciwprostokątną c trójkąta, którego przyprostokątne wynoszą a=3, b=4, podstawiamy te wartości do ostatniego wzoru
c2=32+42, tj. c2=9+16, a stąd c2=25. A więc przeciwprostokątna c=5.
Trójkąt o podanych bokach 3, 4, 5, znany był już w dawnym Egipcie (stąd nazwa: trójkąt egipski) i służył do praktycznego wyznaczania prostych w terenie.