Układy addytywne i pozycyjne.
Układami numeracji nazywać będziemy w naszych rozważaniach umowne sposoby symbolicznego przedstawiania różnych wartości liczbowych, przy użyciu stosunkowo różnych znaków graficznych zwanych cyframi. W ciągu minionych wieków u różnych plemion i narodów w różnych okresach stosowano rozliczne układy numeracji. Wyróżniamy tutaj układy numeracji addytywne, w których zapis symboli umieszczonych kolejno obok sienie ma wartość równą sumie poszczególnych znaków liczbowych - przedstawienie więc znaków cyfrowych w tych układach numeracji nie zmienia wartości liczbowej zapisu. Ale i addytywne układy numeracji mogą się jeszcze między sobą różnić. Tak np. w hieroglificznym zapisie egipskim (a więc w najstarszym okresie) odrębne znaki istniały tylko dla jednostki, dziesiątki, setki, tysiąca, dziesięciu tysięcy, stu tysięcy, miliona i dziesięciu milionów, i znaki te mogły być używane - w zależności od potrzeby - wielokrotnie obok siebie, dokładniej od jednego do dziewięciu razy. Tak więc zapis liczby 564 w hieroglificznym układzie numeracji zawierał 5+6+4=15 znaków. Układy numeracji o takich właściwościach nazywamy homogenicznymi układami addytywnymi (homogeniczny (gr) - należący do tego samego rodzaju, jednorodny).
Natomiast w hieratycznej numeracji egipskiej, powstałej kilka wieków później i stosowanej przez wiele wieków równolegle z numeracją hieroglificzną, istniały odrębne znaki dla każdej liczby jedności (a więc dla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9), odrębne znaki dla każdej liczby dziesiątek (dla 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 i 90), odrębne dla serek (100, 200, ..., 900), itd. Powodowało to, że w zapisie każdej liczby występowały tylko różne znaki, tak więc zapis tej samej liczby 564 w hieratycznym układzie numeracji składał się z trzech znaków. Był to więc znacznie ekonomiczniejszy sposób zapisywania liczb. Układy numeracji o takiej właściwości nazywano heterogenicznymi układami addytywnymi (heterogeniczny (gr) - należący do innego rodzaju, niejednorodny). Taki układ numeracji stosowano również w Grecji, gdzie liczba jednostek, dziesiątek i setek zapisywana była literą alfabetu z kreseczką u góry.
Ale oprócz addytywnych układów numeracji spotyka się także układy numeracji, w których wartość znaków cyfrowych jest zależna od ich położenia, bądź względem sąsiadujących znaków, bądź też względem końca zapisu. Oba te rodzaje układów numeracji noszą wspólną nazwę układów pozycyjnych. Jako przykład pierwszego z dwóch wyróżnionych układów numeracji pozycyjnych niech posłuży znana numeracja rzymska, w której umieszczenie np. znaku jedynki po dowolnym znaku oznacza, że jedynkę należy dodać do poprzedzającej ją większej liczby: VI=5+1, XI=10+1, LI=50+1, CI=100+1; ogólnie: umieszczenie znaku o mniejszej wartości po znaku o większej wartości, jak np.: LV=50+5, CX=100+10, MC=1000+100; oznacza, że do większego poprzednika należy dodać mniejszy następnik, natomiast umieszczenie znaku o mniejszej wartości przed znakiem o większej wartości oznacza, że od większej należy odjąć mniejszą wartość. A oto przykłady: IV=5-1, XL=50-10, XC=100-10, CD=500-100.
Podobną własność miała numeracja etruska, z której powstała numeracja rzymska. Są to jedyne znane przykłady tego rodzaju układu numeracji pozycyjnej, który nazywano dodatkowym mianem: sekwencyjny. Drugim rodzajem układów numeracji pozycyjnych są tzw. układy wagowe. Pozycyjne wagowe układy numeracji powstały w związku z rozwiązaniem pewnych zagadnień teoretycznych, wynikłych przy konstrukcji maszyn cyfrowych; ze względu jednak na zmienny układ wag nie nadają się do zwykłych obliczeń. Największe znaczenie praktyczne ma tutaj tzw. dwójkowy kod Greya - wykorzystujący tylko dwie cyfry 0 i 1 - w którym zapisy dwóch kolejnych liczb różnią się tylko jedną pozycją. A oto próbka dwójkowego kodu Greya:
0 oznacza się symbolem 0,
1 oznacza się symbolem 1,
2 oznacza się symbolem 11,
3 oznacza się symbolem 10,
4 oznacza się symbolem 110,
5 oznacza się symbolem 111,
6 oznacza się symbolem 101,
7 oznacza się symbolem 100.