matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

O systemach niedziesiątkowych. Trzy "wynalazki" zera.

System zapisywania liczb, którym się wszyscy posługujemy, nie powstał w Europie, ale został wynaleziony przez Hindusów. Nosi on nazwę: dziesiątkowy (dziesiętny) system numeracji. Jest to system numeracji pozycyjny, w którym występują cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Wyraz "pozycyjny" oznacza, że wartość cyfry zależy od pozycji, tzn. miejsca, na którym zapisana jest dana cyfra. Widać to z zapisów takich liczb, jak np.: 2, 23, 210, 22548. Cyfra 2 ma w każdej z tych liczb (a nawet w tej samej liczbie) inną wartość. Łatwo zrozumieć, że pozycyjny system numeracji mógł powstać dopiero wtedy, gdy zostało "wynalezione" zero pozycyjne, oznaczające brak jednostek danego rzędu. Najstarszy znak zera pojawił się jeszcze przed naszą erą. U Babilończyków stosowany był system numeracji oparty na liczbie sześćdziesiąt. Przy zapisie liczby 3602=602+2 dla zaznaczenia, że brak w tej liczbie "sześćdziesiątek" (najmniej jednej, a najwięcej pięćdziesięciu dziewięciu) robiono w zapisie klinowym mały odstęp. Ale mogło się przecież zdarzyć, że brakowało (w środku liczby albo na jej końcu) dwóch kolejnych potęg liczby 60, np. 21603=603+0*602+0*601+3; wówczas należało zastosować większy odstęp, co mogło powodować nieporozumienia. Wynaleziono więc znak, wyrażający brak jednostek odpowiedniego rzędu, w postaci dwóch małych, ukośnie umieszczonych znaków. Jest to najstarszy zapis zera - powstał on w początkach epoki Seleucydów, dynastii panującej w latach 312-64 p.n.e. w monarchii syryjskiej.

Drugim - historycznie rzecz biorąc - znakiem zera było coś, co przypominało skorupkę ślimaka, albo jak inni twierdzą półotwarte oko; zostało ono użyte w zapisach po raz pierwszy około 500 roku n.e. przez indiańskie plemię Majów, które zamieszkiwało Gwatemalę, część Hondurasu oraz południowo-wschodnią część Meksyku. Posługiwali się oni układem dwudziestkowym. Niestety oba te "wynalazki" zera miały znaczenie wyłącznie lokalne i tym samym nie odgrywały żadnej roli w rozwoju uproszczenia zapisu liczb. 

Trzeci w kolejności historycznej "wynalazek" zera miał miejsce w Indiach. Nie można ustalić zupełnie dokładnej daty tego faktu o zasadniczym znaczeniu dla powstania pozycyjnego systemu dziesiętnego, ułatwiającego niezwykle sposób zapisywania liczb, jak i wykonywania na nich działań. Pewne jest jedynie, że matematyk hinduski Aryabhata (ur. w 475 r.n.e.) w swoim dziele pt. Surya Siddhanta używa terminu siunia (sunya), który oznaczał nic, pustkę. Ciekawe, że w Indiach - oprócz zapisu cyfrowego - często stosowano słowny system oznaczeń liczb; wówczas "zero" wyrażano opisowo przy pomocy słów: puste, niebo, dziura, "jedność" - przy pomocy słów używanych tylko w liczbie pojedynczej, jak np. ziemia, księżyc, "dwa" - słowami oczy, bliźnięta, wargi, "cztery" - strony świata, itp. W wieku VIII n.e. dokonano przekładów hinduskich dzieł na język arabski; wyraz sunya przyjął wtedy nazwę arabską sifr. Z kolei przy przekładach z arabskiego na łacinę wyraz sifr przyjął postać ciffra, stąd pochodzi niemieckie słowo Ziffer i polskie cyfra, które w pierwszym okresie używane było w sensie: zero. Pierwszy jednak zapis symbolu zera, znaleziony w ściennej inskrypcji w Gwaliorze (Indie) pochodzi dopiero z r. 876 n.e. Stosunkowo niedawno (1959r.) pojawił się pogląd, że "wynalazek" zera nie został dokonany w Indiach, ale na granicy kultur chińskiej i indyjskiej, a raczej indonezyjskiej. Jako dowody służą znalezione w Kambodży i Indonezji dużo wcześniejsze zapisy pochodzące z lat 683 i 686 n.e., w których znakiem zera jest kropka i małe kółko. Jak oceniano pojawienie się indyjskiego dziesiętnego systemu pozycyjnego, niech świadczy pochodzący z r 662 n.e. rękopis Sewera Sebochta, chrześcijańskiego biskupa syryjskiego z siedzibą w jednym z klasztorów nad górnym Eufratem, w którym czytamy: "Nie będę się zatrzymywał nad nauką Hindusów... nad ich systemem liczenia, przewyższającym wszystko co da się opisać. Chcę tylko powiedzieć, że liczenie odbywa się przy pomocy dziesięciu znaków...". Cyfry 1, 2, ..., 9 i zero wynalezione przez Hindusów nazywamy cyframi arabskimi, niewątpliwą ciekawostką jest więc fakt, że sami Arabowie nazywali je indyjskimi, a całą arytmetykę opartą na układzie dziesiętnym - rachunkiem indyjskim. Podboje arabskie całej północnej Afryki oraz części Hiszpanii, a nawet części Francji spowodowały rozpowszechnienie się dziesiątkowego systemu pozycyjnego najpierw w podbitej części Europy, a następnie stopniowo w całej Europie. Najstarszy znany w Europie zapis liczby w pozycyjnym układzie dziesiątkowym odkryto na monetach wybitych przez Rogera z Sycylii - jest to rok 1138. Pierwsze monety z cyframi hinduskimi pojawiły się we Francji w 1485r., w Niemczech lata później, w Polsce w 1506r., w Anglii w 1551r., w Rosji w 1655r.

Ponieważ w pozycyjnym systemie dziesiątkowym jako układ jednostek przyjęto ciąg kolejnych potęg liczby 10, nazywanej podstawą numeracji 100=1, 101=10, 102=100, 103=1.000, 104=10.000, ... więc przyjmując jako podstawę nowej numeracji jakąkolwiek liczbę dodatnią całkowitą, tzn. naturalną, ale różną od jedności - oznaczmy ją przez g - możemy utworzyć w tym nowym systemie ciąg kolejnych potęg liczby g: g0=1, g, g2, g3, g4, ... Stanowią one układ jednostek w systemie pozycyjnym o podstawie równej g. Cyframi w tym układzie są 0, 1, ..., g-1. A więc w systemie dwójkowym jedynymi cyframi są 0, 1; w systemie trójkowym są cyfry 0, 1, 2; w systemie czwórkowym 0, 1, 2, 3; itd., a w systemie np. trzynastkowym cyframi są 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C; gdzie A, B, C oznaczyliśmy jednym znakiem kolejne cyfry systemu trzynastkowego, odpowiadające 10, 11, 12. Nazwę takiego systemu numeracji opatruje się dodatkowym wyrazem: jednorodny, w odróżnieniu od systemów numeracji niejednorodnych, w których jako układ jednostek numeracji przyjmuje się ciąg liczb całkowitych g0, g1, g2, ..., gk, gk+1, ... gdzie g0=1, a każda zaś następna jednostka gk+1 powstaje z poprzedzającej ją gk poprzez pomnożenie jej przez dowolną liczbę naturalną pk różną od 1: gk+1=gk*pk nazywaną podstawą k-tego rzędu.

Dodaj komentarz


Kod antyspamowy
Odśwież