Odcinki współmierne. Przełom w szkole pitagorejskiej.
Liczby całkowite i ułamkowe postaci k/l, gdzie l jest liczbą całkowitą dodatnią, a licznik k jest liczbą całkowitą, nazywamy liczbami wymiernymi, np. 2, -5, 3/4, 0, ... (dodatnie, ujemne i zero). Egipcjanie i Grecy nie znali liczb ujemnych i zera, toteż dla nich wyraz: liczba oznaczał to, co dziś nazywamy liczbą dodatnią wymierną. Z takiego rozumienia pojęcia liczby wynikała następująca prosta konsekwencja. Jeżeli obierzemy dowolny odcinek za jednostkę, to z łatwością wyznaczymy odcinki, których miarą długości są dowolne liczby całkowite: 2, 3, 4, itd. Potrafimy również skonstruować odcinki, których długości wyrażają się jakąkolwiek liczbą wymierną: np. 1/2; 2 3/5; 5,7 wybranej jednostki.
W ten sposób przez ówczesnych Greków została powszechnie zrozumiana następująca zupełnie intuicyjna prawda: Każdej liczbie odpowiada pewien odcinek. Wyraz liczba oznacza w tym zdaniu - zgodnie z powyższymi rozważaniami - liczbę wymierną dodatnią. Weźmy teraz po uwagę odcinki, np. jeden odcinek długości 4m, a drugi długości 2,3m. Gdybyśmy chcieli długości obu tych odcinków wyrazić w liczbach całkowitych, zmieniając oczywiści jednostkę, to cel ten osiągnęlibyśmy łatwo, wyrażając długości w decymetrach: pierwszy odcinek mieści w sobie wówczas 40 razy odcinek długości 1dcm, a drugi odcinek - 23 tej samej jednostki. A gdyby długości odcinków wynosiły np. 2 3/4cm i 7 5/6cm, czy również zmieniając jednostki, byłoby możliwe wyrażenie ich długości w liczbach całkowitych? Pytanie to nie jest truden do rozstrzygnięcia. Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika: wówczas długości odcinków wyrażają się liczbami 2 9/12cm i 7 10/12cm, albo w postaci ułamków niewłaściwych, tj. takich, w których licznik jest większy albo równy mianownikowi, jako liczby: 33/12 i 94/12. Jeżeli więc za jednostkę miary długości odcinków przyjmiemy np. 1/12cm, to pierwszy odcinek 33/12cm mieści w sobie 33 nowe jednostki, a drugi odcinek 94/12c, mieści ich w sobie 94. Odcinek 1/12cm lub jego np. połowę, jedną trzecią itp. nazwiemy wspólną miarą odcinków o długości 2 3/4cm i 7 5/6cm, a odcinki te nazwiemy współmiernymi. Ogólnie przyjmiemy następującą definicję (określenie):
Dwa odcinki nazywamy współmiernymi, jeżeli istnieje taki trzeci odcinek, który w obu danych odcinkach mieści się całkowitą liczbę razy.
Nasuwa się teraz pytanie: czy każde dwa odcinki są współmierne, czy też istnieją odcinki niewspółmierne, tan. takie, dla których nie można znaleźć takiego trzeciego odcinka, który mieściłby się dokładnie całkowitą liczbę razy zarówno w jednym, jak i w drugim? Na to pytanie za chwilę znajdziemy zupełnie ścisłą odpowiedź, tymczasem powiedzmy, co mówi nam intuicja, tzn. jak nam się wydaje. Przecież ten trzeci odcinek może być zupełnie dowolny, to znaczy wydaje się nam, że możemy w razie potrzeby dobrać tak mały odcinek, aby mieścił się on całkowitą liczbę razy w obu odcinkach. Wydaje się więc, że każde dwa odcinki są współmierne; tak też zapatrywali się na tę sprawę członkowie szkoły pitagorejskiej w początkowym okresie jej rozwoju. Aby to zagadnienie całkowicie wyświetlić, wprowadzimy jeszcze pewien nietrudny wniosek wynikający z określenia odcinków współmiernych. Przypuśćmy, że jeden z odcinków jest równy pewnej jednostce długości, zresztą dowolnej, oraz że drugi odcinek jest współmierny z pierwszym. Z tego wynika, że istnieje taki trzeci odcinek, który mieści się całkowitą liczbę, np. 17 razy (ogólnie np. n razy), w pierwszym odcinku, tj. jednostce, oraz również całkowitą liczbę, np. 42 razy (ogólnie np. m razy), w drugim odcinku. Długość tego odcinka wynosi oczywiście 1/17 (ogólnie 1/n) jednostki, a ponieważ drugi odcinek zawiera ich w sobie 42 (ogólnie m), więc długość drugiego odcinka jest równa 42/17 ( ogólnie m/n) jednostki, a więc wyraża się liczbą wymierną. Rozumowanie powyższe doprowadziło nas do następującego rezultatu: Długość odcinka współmiernego z jednostką wyraża się liczbą wymierną.
Prawdziwe jest i twierdzenie odwrotne: odcinki, których długości wyrażają się liczbami wymiernymi, są współmierne. Istotne, jeśli długości odcinków są powiedzmy k/r i m/n, to po sprowadzeniu do wspólnego mianownika zapiszemy te długości w postaci kn/rn i mr/rn. Wystarczy teraz obrać 1/rn jako nową jednostkę długości, aby długości tych odcinków dały się wyrazić liczbami całkowitymi kn i mr, co dowodzi, że odcinki są współmierne.
Na nasze pytanie możliwe są dwie odpowiedzi:
1. Jeżeli każde dwa odcinki są współmierne, to długości każdego z nich wyraża się liczbą wymierną, albo
2. Jeżeli nie każde dwa odcinki są współmierne, tzn. jeżeli istnieje chociaż jedna para odcinków niewspółmiernych, to wówczas istnieją takie odcinki, których długość nie wyraża się liczbą wymierną.
W celu rozstrzygnięcia, która z powyższych dwóch dwóch wzajemnie się wykluczających ewentualności jest prawdziwa, rozpatrzmy przykład, który po raz pierwszy w historii myśli ludzkiej poznany został w szkole pitagorejskiej i odegrał bardzo istotną rolę w rozwoju pojęcia liczby i matematyki ogólnie.
Rozpatrzmy mianowicie kwadrat o boku równym jedności. Przekątną oznaczmy przez r. W celu obliczenia przekątnej kwadratu zwróćmy uwagę, że połowa kwadratu zaznaczona na rysunku linią ciągłą jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, którego przeciwprostokątna jest poszukiwana przekątna kwadratu r, a obie przyprostokątne są sobie równe i odległość każdej z nich jest równa jedności.