wzory - matematyka.net - Polski Portal Matematyczny

Jesteś tutaj: Start

Wzory Viete'a

Wzory Viete'a.

Wzory Viete'a to wzory wyrażające zależności pierwiastków x₁, x₂, ..., x_n równania a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₀=0, a_n≠0, od współczynników:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}$ ,

$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+...+x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}}$ ,

$x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+...+x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=-\frac{a_{n-3}}{a_{n}}$ ,

...............................................................

$\sum_{1\le i_{1}<i_{2}<...<i_{k}\le n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{k}}=(-1)^{k}\frac{a_{n-k}}{a_{n}}$ ,

...............................................................

$x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n}=(-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}$ .

W przypadku trójmianu kwadratowego ax²+bx+c=0 wzory Viete'a wyglądają następująco:

$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, x_{1}*x_{2}=\frac{c}{a}$ .

Wzory te na ogół nie ułatwiają wyznaczania pierwiastków równań algebraicznych, pozwalają jednak wyznaczyć wartości pewnych wyrażeń zależnych od pierwiastków. Związki te sformułował w 1591 roku matematyka francuski F.Viete.

Dodaj komentarz

Wzór Newtona

Drukuj | E-mail | Odsłony: 13314

Wzór Newtona.

Wzór Newtona, dwumian Newtona to wzór wyrażający potęgę o wykładniku naturalnym sumy dwóch składników przez sumę iloczynów potęg tych składników:

$(a+b)^{n}=a^{n}+{n\choose 1}a^{n-1}b+...+{n\choose k}a^{n-k}b^{k}+...+b^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}$ .

Symbol ${n\choose k}$ , zwany symbolem Newtona, a także współczynnikiem newtonowskim, oznacza $\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{1*2*...*k}$ i jest równy liczbie k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego. Dla n=2 i n=3 wzór Newtona sprowadza się do znanych wzorów skróconego mnożenia:

dla n=2: (a+b)²=a²+2ab+b²;

dla n=3: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;

dla n=4: (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴;

dla n+5: (a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵.

Dodaj komentarz

Wzory redukcyjne

Drukuj | E-mail | Odsłony: 11980

Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych.

Wzory redukcyjne to wzory pozwalające wyrazić jedne funkcje trygonometryczne poprzez inne. Jeżeli argument danej funkcji trygonometrycznej jest ujemny, to obliczanie wartości funkcji: sinus, cosinus, tangens i cotangens można sprowadzić do obliczania wartości tych funkcji dla argumentu dodatniego zgodnie z zależnościami: sin(-x)=-sin(x), cos(-x)=cos(x), tg(-x)=-tg(x), ctg(-x)=-ctg(x). Korzystając z okresowości tych funkcji, obliczanie wartości funkcji sinus i cosinus można sprowadzić do obliczania wartości tych funkcji dla argumentu z przedziału 0<x≤2π, a funkcji tangens i cotangens - z przedziału 0<x<π według wzorów: sin(2kπ+x)=sin(x), cos(2kπ+x)=cos(x), tg(kπ+x)=tg(x), ctg(kπ+x)=ctg(x), gdzie k jest liczbą całkowitą. Jeżeli ¹/₂π<β<2π, to obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych argumentu β można sprowadzić do obliczania wartości tych funkcji dla argumentu α z przedziału 0<α<¹/₂π według wzorów podanych w tabeli:

β	¹/₂±α	π±α	1¹/₂±α	2π±α
sinβ	+cosα	-sinα +sinα	-cosα	+sinα -sinα
cosβ	-sinα +sinα	-cosα	+sinα -sinα	+cosα
tgβ	-ctgα +ctgα	-tgα -tgα	-ctgα +ctgα	+tgα -tgα
ctgβ	-tgα +tgα	+ctgα -ctgα	-tgα +ctgα	+ctgα -ctgα

Dodaj komentarz

Wzory trygonometrii sferycznej

Drukuj | E-mail | Odsłony: 25903

Wzory trygonometrii sferycznej.

Wzory trygonometrii sferycznej to wzory wyrażające związki między bokami i kątami trójkąta sferycznego eulerowskiego. W podanych poniżej wzorach miary kątów trójkąta sferycznego eulerowskiego o wierzchołkach A, B, C oznaczone są odpowiednio przez α, β, γ, a długości boków leżących naprzeciw tych kątów przez a, b, c.

1. Wzory al-Battaniego:

cos(a)=cos(b)*cos(c)+sin(b)*sin(c)*cos(α),

cos(b)=cos(c)*cos(a)+sin(c)*sin(a)*cos(β),

cos(c)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sib(b)*cos(γ).

2. Wzór sinusów:

$\frac{\sin a}{\sin \alpha}=\frac{\sin b}{\sin \beta}=\frac{\sin c}{\sin \gamma}$

3. Wzory Delambre'a (analogie Delambre'a, wzory Gaussa):

$\sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a-b)}{\cos\frac{1}{2}c}*\cos\frac{1}{2}\gamma$ ,

$\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a+b)}{\cos\frac{1}{2}c}*\sin\frac{1}{2}\gamma$ ,

$\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a-b)}{\sin\frac{1}{2}c}*\cos\frac{1}{2}\gamma$ ,

$\cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a+b)}{\sin\frac{1}{2}c}*\sin\frac{1}{2}\gamma$ .

4. Wzory Nepera (analogie Nepera), wzory wyrażające tangens połowy sumy (różnicy) dwu kątów oraz dwu boków, otrzymane za pomocą wzorów Belambre'a, np.:

$tg\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a-b)}{\cos\frac{1}{2}(a+b)}*ctg\frac{1}{2}\gamma$ ,

$tg\frac{1}{2}(a+b)=\frac{\cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}{\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}*tg\frac{1}{2}c$ ,

$tg\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a-b)}{\sin\frac{1}{2}(a+b)}*ctg\frac{1}{2}\gamma$ ,

$tg\frac{1}{2}(a-b)=\frac{\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}{\sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}*tg\frac{1}{2}c$ .

5. Wzory z przewyżką sferyczną $\varepsilon=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ :

a) Wzór Cagnoliego:

$\sin\frac{1}{2}\varepsilon=\frac{\sin\frac{1}{2}a*\sin\frac{1}{2}b}{\cos\frac{1}{2}c}*\sin\gamma$ ;

b) Wzór Lhuiliera:

$tg\frac{1}{2}\varepsilon=\sqrt{tg\frac{1}{2}p*tg\frac{1}{2}(p-a)*tg\frac{1}{2}(p-b)*tg\frac{1}{2}(p-c)}$ , gdzie $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ .

Wzory dotyczące przewyżki sferycznej są stosowane do obliczania pola trójkąta sferycznego eulerowskiego, które jest równe jego przewyżce.

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta sferycznego eulerowskiego orzeka, że cosinus przeciwprostokątnej jest równy iloczynowi cosinusów przyprostokątnych, np. gry $\alpha=\frac{1}{2}\pi$ , to $\cos a=\cos b*\cos c$ . W trójkącie sferycznym prostokątnym liczba boków większych od $\frac{1}{2}\pi$ jest parzysta, a mniejszych od $\frac{1}{2}\pi$ nieparzysta.

Dodaj komentarz

Wzory skróconego mnożenia

Drukuj | E-mail | Odsłony: 42280

Wzory skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia to reguły rachunkowe pozwalające uprościć obliczenia na liczbach, wielomianach i elementach, dla których obowiązująprawa przemienności oraz łączności dodawania i mnożenia, a także rozdzielności mnożenia względem dodawania. Do wzorów skróconego mnożenia zalicza się między innymi wzór na:

różnicę kwadratów:	a²-b²=(a-b)(a+b)
różnicę sześcianów:	a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
sumę sześcianów:	a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
kwadrat sumy:	(a+b)²=a²+2ab+b²
kwadrat różnicy:	(a-b)²=a²-ab+b²
sześcian sumy:	(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
sześcian różnicy:	(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Cztery ostatnie wzory są szczególnymi przypadkami wzoru Newtona, który też jest wzorem skróconego mnożenia.

Ponadto do wzorów skróconego mnożenia należą też takie wzory, jak:

aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+...+ab^n-2+b^n-1),

aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+...+(-1)^ka^n-k-1b^k+...-ab^n-2+b^n-1), dla nnieparzystego.

Dodaj komentarz

Wzory

matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Menu

Wzory Viete'a

Wzory Viete'a.

Wzór Newtona

Wzór Newtona.

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych.

Wzory trygonometrii sferycznej

Wzory trygonometrii sferycznej.

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia.

Popularne