Dwumian Newtona - wzór dwumianowy i symbol Newtona

Wzór Newtona, dwumian Newtona to wzór wyrażający potęgę o wykładniku naturalnym sumy dwóch składników przez sumę iloczynów potęg tych składników:

$(a+b)^{n}=a^{n}+{n\choose 1}a^{n-1}b+...+{n\choose k}a^{n-k}b^{k}+...+b^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}$.

Symbol ${n\choose k}$, zwany symbolem Newtona, a także współczynnikiem newtonowskim, oznacza $\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{1*2*...*k}$ i jest równy liczbie k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego. Dla n=2 i n=3 wzór Newtona sprowadza się do znanych wzorów skróconego mnożenia:

dla n=2: (a+b)²=a²+2ab+b²;

dla n=3: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;

dla n=4: (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴;

dla n=5: (a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵.

Trójkąt Pascala

Współczynniki kolejnych rozwinięć - $1$; $1, 2, 1$; $1, 3, 3, 1$; $1, 4, 6, 4, 1$; $1, 5, 10, 10, 5, 1$ - to kolejne wiersze trójkąta Pascala. Każdy wiersz zaczyna się i kończy jedynką, a każda liczba w środku jest sumą dwóch liczb stojących nad nią:

$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.$

Ta zależność pozwala wypisać współczynniki dowolnego rozwinięcia bez liczenia silni - wystarczy dopisywać kolejne wiersze. Trójkąt bywa nazywany także trójkątem Pascala-Tartaglii; znany był w Chinach i w świecie arabskim na długo przed Pascalem, który opisał go w 1654 roku.