Wzory redukcyjne - tabela sin, cos, tg i ctg

Co to są wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają wyrazić funkcję trygonometryczną dowolnego kąta przez funkcję kąta ostrego. Dzięki nim zamiast pamiętać wartości dla wszystkich kątów wystarczy znać je w przedziale $\left(0, \tfrac{\pi}{2}\right)$ - resztę odtwarzamy jednym przekształceniem.

Punktem wyjścia są dwie proste zależności.

Parzystość i nieparzystość - dla argumentu ujemnego:

$\sin(-x) = -\sin x, \qquad \cos(-x) = \cos x,$

$\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x, \qquad \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x.$

Okresowość - sinus i cosinus mają okres $2\pi$, a tangens i cotangens okres $\pi$:

$\sin(2k\pi + x) = \sin x, \qquad \cos(2k\pi + x) = \cos x,$

$\operatorname{tg}(k\pi + x) = \operatorname{tg} x, \qquad \operatorname{ctg}(k\pi + x) = \operatorname{ctg} x,$

gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. To one pozwalają sprowadzić dowolny kąt do przedziału $\langle 0, 2\pi)$, a dalej - tabelą poniżej - do kąta ostrego.

Tabela wzorów redukcyjnych

W tabeli $\alpha$ jest kątem ostrym: $0 < \alpha < \tfrac{\pi}{2}$.

W stopniach te same wiersze to kolejno: $90° - \alpha$, $90° + \alpha$, $180° - \alpha$, $180° + \alpha$, $270° - \alpha$, $270° + \alpha$, $360° - \alpha$.

Jak z tego korzystać bez uczenia się tabeli na pamięć

Tabelę da się odtworzyć z dwóch pytań.

Pytanie 1: czy nazwa funkcji się zmienia? Patrzymy, przy której osi jest kąt odniesienia:

• $\pi \pm \alpha$, $2\pi \pm \alpha$ - oś pozioma ($180°$, $360°$) - nazwa zostaje ($\sin$ na $\sin$),
• $\tfrac{\pi}{2} \pm \alpha$, $\tfrac{3\pi}{2} \pm \alpha$ - oś pionowa ($90°$, $270°$) - nazwa zmienia się na kofunkcję ($\sin$ na $\cos$, $\operatorname{tg}$ na $\operatorname{ctg}$).

Pomocna wskazówka: przy $90°$ i $270°$ liczba „połówek” $\pi$ jest nieparzysta - i wtedy funkcja zmienia nazwę.

Pytanie 2: jaki jest znak? Ustalamy, w której ćwiartce leży kąt $\beta$, i bierzemy znak, jaki ma tam funkcja z lewej strony (ta wyjściowa, nie ta po zamianie). Znaki w ćwiartkach:

• I ćwiartka - wszystkie funkcje dodatnie,
• II ćwiartka - dodatni tylko sinus,
• III ćwiartka - dodatnie tangens i cotangens,
• IV ćwiartka - dodatni tylko cosinus.

Przykłady

Przykład 1: $\sin 150°$. Zapisujemy $150° = 180° - 30°$. Oś pozioma, więc nazwa zostaje; kąt $150°$ leży w II ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni. Zatem

$\sin 150° = \sin 30° = \tfrac{1}{2}.$

Przykład 2: $\cos 120°$. Mamy $120° = 90° + 30°$. Oś pionowa, więc cosinus zmienia się w sinus; kąt leży w II ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny. Zatem

$\cos 120° = -\sin 30° = -\tfrac{1}{2}.$

Ten sam wynik przez oś poziomą: $120° = 180° - 60°$, nazwa zostaje, znak ujemny, więc $\cos 120° = -\cos 60° = -\tfrac{1}{2}$. Oba rozkłady są poprawne.

Przykład 3: $\operatorname{tg} 225°$. Mamy $225° = 180° + 45°$. Nazwa zostaje, III ćwiartka - tangens dodatni:

$\operatorname{tg} 225° = \operatorname{tg} 45° = 1.$

Przykład 4: kąt spoza pełnego obrotu, $\sin \tfrac{13\pi}{6}$. Najpierw okresowość: $\tfrac{13\pi}{6} = 2\pi + \tfrac{\pi}{6}$, więc

$\sin \tfrac{13\pi}{6} = \sin \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}.$

Najczęstsze pytania

Kiedy funkcja zmienia nazwę na kofunkcję? Przy kątach $\tfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ i $\tfrac{3\pi}{2} \pm \alpha$, czyli $90°$ i $270°$ - przy osi pionowej. Przy $\pi \pm \alpha$ i $2\pi \pm \alpha$ nazwa zostaje.

Skąd brać znak we wzorze redukcyjnym? Z ćwiartki, w której leży kąt $\beta$ - przy założeniu, że $\alpha$ jest ostry. Bierzemy znak funkcji wyjściowej, a nie tej po zamianie nazwy.

Jak brzmi wzór redukcyjny dla ctg?$\operatorname{ctg}\left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha$, $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$, $\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) = \operatorname{ctg}\alpha$, $\operatorname{ctg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$. Komplet w tabeli wyżej.

Co zrobić z kątem większym od pełnego obrotu? Najpierw odjąć pełne obroty (okres $2\pi$ dla sinusa i cosinusa, $\pi$ dla tangensa i cotangensa), a dopiero potem stosować wzór redukcyjny.

Czy wzory redukcyjne działają dla kątów ujemnych? Tak - najpierw korzystamy z parzystości: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, a dla pozostałych trzech funkcji $f(-\alpha) = -f(\alpha)$.

Dlaczego $\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$? Bo w trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $\tfrac{\pi}{2}$ - sinus jednego jest cosinusem drugiego. Stąd zresztą nazwa „cosinus”: complementi sinus, sinus kąta dopełniającego.

Podsumowanie

• Wzory redukcyjne sprowadzają funkcję dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego.
• Nazwa funkcji zmienia się na kofunkcję tylko przy osi pionowej ($\tfrac{\pi}{2} \pm \alpha$, $\tfrac{3\pi}{2} \pm \alpha$).
• Znak bierzemy z ćwiartki, w której leży kąt $\beta$, patrząc na funkcję wyjściową.
• Kąty spoza przedziału $\langle 0, 2\pi)$ najpierw redukujemy okresowością.
• Dla argumentu ujemnego: cosinus jest parzysty, pozostałe trzy funkcje nieparzyste.