Wzory skróconego mnożenia (także aⁿ−bⁿ i aⁿ+bⁿ)

Wzory skróconego mnożenia to tożsamości algebraiczne pozwalające szybko przekształcać i upraszczać wyrażenia - bez mnożenia “nawias przez nawias”. Obowiązują wszędzie tam, gdzie dodawanie i mnożenie są przemienne, łączne i rozdzielne (m.in. dla liczb i wielomianów).

Kwadrat sumy i różnicy

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Różnica kwadratów

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Sześcian sumy i różnicy

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Suma i różnica sześcianów

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Wzory ogólne: aⁿ − bⁿ oraz aⁿ + bⁿ

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$:

$a^n - b^n = (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$

Dla nieparzystego $n$:

$a^n + b^n = (a+b)\left(a^{n-1} - a^{n-2}b + \ldots - ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$

Wzory na kwadrat i sześcian sumy oraz różnicy są szczególnymi przypadkami wzoru dwumianowego Newtona.

Przykłady

• $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
• $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
• $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$