Wzory trygonometrii sferycznej

Wzory trygonometrii sferycznej to wzory wyrażające związki między bokami i kątami trójkąta sferycznego eulerowskiego. W podanych poniżej wzorach miary kątów trójkąta sferycznego eulerowskiego o wierzchołkach A, B, C oznaczone są odpowiednio przez α, β, γ, a długości boków leżących naprzeciw tych kątów przez a, b, c.

1. Wzory al-Battaniego:

cos(a)=cos(b)*cos(c)+sin(b)*sin(c)*cos(α),

cos(b)=cos(c)*cos(a)+sin(c)*sin(a)*cos(β),

cos(c)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sib(b)*cos(γ).

2. Wzór sinusów:

$\frac{\sin a}{\sin \alpha}=\frac{\sin b}{\sin \beta}=\frac{\sin c}{\sin \gamma}$

3. Wzory Delambre’a (analogie Delambre’a, wzory Gaussa):

$\sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a-b)}{\cos\frac{1}{2}c}*\cos\frac{1}{2}\gamma$,

$\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a+b)}{\cos\frac{1}{2}c}*\sin\frac{1}{2}\gamma$,

$\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a-b)}{\sin\frac{1}{2}c}*\cos\frac{1}{2}\gamma$,

$\cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a+b)}{\sin\frac{1}{2}c}*\sin\frac{1}{2}\gamma$.

4. Wzory Nepera (analogie Nepera), wzory wyrażające tangens połowy sumy (różnicy) dwu kątów oraz dwu boków, otrzymane za pomocą wzorów Belambre’a, np.:

$tg\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a-b)}{\cos\frac{1}{2}(a+b)}*ctg\frac{1}{2}\gamma$,

$tg\frac{1}{2}(a+b)=\frac{\cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}{\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}*tg\frac{1}{2}c$,

$tg\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a-b)}{\sin\frac{1}{2}(a+b)}*ctg\frac{1}{2}\gamma$,

$tg\frac{1}{2}(a-b)=\frac{\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}{\sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}*tg\frac{1}{2}c$.

5. Wzory z przewyżką sferyczną $\varepsilon=\alpha+\beta+\gamma-\pi$:

a) Wzór Cagnoliego:

$\sin\frac{1}{2}\varepsilon=\frac{\sin\frac{1}{2}a*\sin\frac{1}{2}b}{\cos\frac{1}{2}c}*\sin\gamma$;

b) Wzór Lhuiliera:

$tg\frac{1}{2}\varepsilon=\sqrt{tg\frac{1}{2}p*tg\frac{1}{2}(p-a)*tg\frac{1}{2}(p-b)*tg\frac{1}{2}(p-c)}$, gdzie $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$.

Wzory dotyczące przewyżki sferycznej są stosowane do obliczania pola trójkąta sferycznego eulerowskiego, które jest równe jego przewyżce.

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta sferycznego eulerowskiego orzeka, że cosinus przeciwprostokątnej jest równy iloczynowi cosinusów przyprostokątnych, np. gry $\alpha=\frac{1}{2}\pi$, to $\cos a=\cos b*\cos c$. W trójkącie sferycznym prostokątnym liczba boków większych od $\frac{1}{2}\pi$ jest parzysta, a mniejszych od $\frac{1}{2}\pi$ nieparzysta.