Funkcja - definicja

Funkcja, operacja, przekształcenie - jedno z najważniejszych pojęć matematyki.
Początkowo funkcję rozumiano jako przyporządkowanie elementom jednego zbioru X elementów drugiego zbioru Y tak, że każdemu elementowi x∈X odpowiada dokładnie jedna wartość y∈Y.



Przedstawiony termin funkcji oznacza tylko takie przyporządkowanie, w którym zbiór argumentów i wartości były zbiorami liczbowymi. Istniało jednak wiele własności analitycznych funkcji, takich jak ciągłość, różniczkowalność itp., których to powyższa definicja nie "przewidywała". Wg tej definicji funkcję można było opisać przy pomocy tabelki wartości funkcji. Jednakże w matematyce istnieją funkcje, których nie można tak opisać. W związku z czym powstała konieczność sformułowania ogólnej, precyzyjnej definicji funkcji. Taką definicję podano na gruncie teorii mnogości.
Przez funkcję f odwzorowującą zbiór X w zbiorze Y rozumie się dowolny zbiór par uporządkowanych (x, y), gdzie x∈X i y∈Y (czyli relację X x Y) taki, że dla każdego elementu x∈X istnieje dokładnie jeden y∈Y, oznaczony symbolem f(x) taki, że (x, y)∈f.
Zbiór X nazywa się dziedziną funkcji f lub zbiorem argumentów funkcji f, oznacza się go przez D. Zbiór Y nazywa się przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór Y₀ zawierający się w Y złożony z tych elementów y∈Y, dla którego istnieje x∈X takie, że y=f(x), nazywa się zbiorem wartości funkcji. Zbiór wartości nie musi być identyczny z całą przeciwdziedziną.
Funkcję można przedstawić na kilka różnych sposobów:
1. Określając dziedzinę i podając wzór przyporządkowujący argumentom wartości funkcji, np. x∈R, f(x)=2x²+3x-4
2. W przypadku gdy dziedzina zawiera tylko skończoną liczbę argumentów - za pomocą tabelki, np. zestawienie zużycia energii elektrycznej w danym miesiącu.
3. Za pomocą wzoru niejednolitego, np.

4. Za pomocą omówienia słownego.

Aby daną funkcję podaną w postaci wzoru algebraicznego przedstawić przy pomocy ilustracji graficznej, należy zbadać przebieg zmienności funkcji:
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
2. Określić przedziały ciągłości.
3. Wyznaczyć miejsca zerowe i przecięcia z osią Y.
4. Sprawdzić czy funkcja jest: parzysta, nieparzysta lub okresowa.
5. Obliczyć granice na końcach przedziałów.
6. Wyznaczyć jeśli istnieją asymptoty.
7. Przy pomocy pierwszej pochodnej wyznaczyć ekstrema i zbadać monotoniczność funkcji.
8. Przy pomocy drugiej pochodnej zbadać przegięcia funkcji.