Pisemny egzamin dojrzałości z matematyki
w województwach: jeleniogórskim, legnickim, wałbrzyskim, wrocławskim
7 maja 1997r.
Wariant III
Zadanie 1.
Dana jest funkcja f(x)=
.
a) Rozwiązać nierówność f(x) ≤ 2x.
b) Rozwiązać równanie f(x) + f'(x) = 1,5.
c) Ustalić liczbę rozwiązań równania |f(x)| = m w zależności od parametru m.
Punktacja: a - 5p., b - 5p., c - 5p.
Zadanie 2.
Dane są równania okręgów K1 : (x − 4)2 + y2 = 9 i K2 : (y − m)2 + x2 = m2.
a) Dla m = 3 napisać równania wspólnych stycznych do tych okręgów.
b) Dla jakich wartości m okręgi K1 i K2 mają dokładnie jeden punkt wspólny?
c) Okrąg K2 przecina oś OY w początku układu współrzędnych i punkcie C, a okrąg K1 przecina oś OX w punktach A i B. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty A, B, C i środek okręgu K2.
Punktacja: a - 5p., b - 5p., c - 5p.
Zadanie 3.
Liczby a, b, c, d, różne od zera, są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
a) Wyznaczyć iloraz tego ciągu wiedząc, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest dwa razy większa od sumy pierwszego i trzeciego wyrazu.
b) Jakie wartości przyjmuje iloraz tego ciągu jeśli log0,5a + log0,5b > log0,5c + log0,5d?
c) Obliczyć a, b, c, d, jeżeli wiadomo, że suma trzech pierwszych wyrazów równa się 26 oraz, że liczby a + 1, b + 6, c + 3 tworzą ciąg arytmetyczny.
Punktacja: a - 5p., b - 5p., c - 5p.
Zadanie 4.
W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym krawędź boczna o długości b tworzy z płaszczyzną podstway kąt α.
a) Obliczyć objętość ostrosłupa.
*b) Przyjmując b = 10 i α = 60° obliczyć cosinus kąta między dwiema kolejnymi ścianami bocznymi ostrosłupa.
c) Obliczyc promień okręgu opisanego na trójkącie będącym ścianą boczną ostrosłupa.
Punktacja: a - 4p., b - 6p., c - 5p.
Zadanie 5.
Dana jest funkcja f(x) = (m − 3)x2 + (m − 1)x − 1 gdzie x ∈ R.
a) Dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu y = 3x − 1 ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji f.
b) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla których suma kwadratów pierwiastków równania f(x) = −1.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla których przedział (−∞,1> jest zbiorem wartości funkcji f.
Punktacja: a - 5p., b - 5p., c - 5p.
Do rozwiązania należy wybrać trzy spośród pięciu zadań.
Aby otrzymać ocenę pozytywną, należy uzyskać co najmniej 16 punktów, w tym poprawnie rozwiązać dwa dowolne podpunkty z wybranych zadań.
Kryteria ocen:
celujący: 44-45 pkt. (w tym wybrane zadanie 4)
bardzo dobry: 41-43 pkt.
dobry: 33-40 pkt.
dostateczny: 23-32 pkt.
dopuszczający: 16-22 pkt.
niedostateczny: 0-15 pkt.