matematyka.net

Twierdzenia Fermata.

Twierdzenia Fermata to twierdzenia noszące imię matematyka francuskiego P. de Fermata.

1) Małe twierdzenie Fermata: dla dowolnej liczby całkowitej n i liczby pierwszej p liczba n^p-n jest podzielna przez p. Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest, że jeśli p jest liczbą pierwszą nie będącą dzielnikiem n, to liczba n^p-1-1 jest podzielna przez p. Twierdzenie to sformułował Fermat w 1640 roku, a udowodnił w 1741 roku szwajcarski matematyk i fizyk L.Euler.

2) Wielkie twierdzenie Fermata: równanie xⁿ+yⁿ=zⁿ nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych dla n>2; tradycyjnie było nazywane twierdzeniem, naprawdę było hipotezą, gdyż nie był znany jego dowód. W niektórych językach znane jest pod nazwą ostatniego twierdzenia Fermata. 

Formułując twierdzenie w 1637 roku, Fermat stwierdził, że znalazł dowód, notatka ta została odnaleziona po jego śmierci. Potrafiono rozstrzygnąć jedynie szczególne przypadki. Dla n=3 hipotezę wykazał Euler w 1753 roku, dla n=4 twierdzenie jest szczególnym przypadkiem pewnego prostego zadania (rozwiązanego przez samego Fermata jeszcze przed sformułowaniem wielkiego twierdzenia), dla n=5 problem rozstrzygnęli niezależnie od siebie w 1825 roku matematyk niemiecki P.G.Lejeune Dirichlet i matematyk francuski G.Lame.

Wielu matematykaów (i niematematyków) ogłaszało, że wykazali wielkie twierdzenie Fermata - ich rozumowania jednak zawsze okazywały się błędne. Pomyłki popełniali tu także i wybitni uczeni, w szczególności tej miary, co Euler, niemiecki matematyk i fizyk C.F.Gauss i matematyk francuski J.L. de Lagrange. Ogromna liczba "rozwiązań" pojawiła się po 1907 roku, kiedy to P.Wolfskehl ufundował nagrodę w wysokości 100 tys. matek niemieckich za rozstrzygnięcie problemu (po I wojnie światowej nagroda się zdewaluowała). W badaniach matematyki współczesnej wielkie twierdzenia Fermata nie było już problemem specjalnie ważnym dla rozwoju matematyki. Próby jego rozstrzygnięcia doprowadziły jednak do znacznego postępu rozmaitych działów matematyki - w szczególności badania matematyka niemieckiego E.E.Kummera w XIX wieku doprowadziły do istotnego rozwoju algebry. Tym niemniej osiągano współcześnie ważne rezultaty, powiązane w tym problemem, zwłaszcza dotyczące geometrii algebraicznej. Istotne rezultaty osiągali między innymi matematyk niemiecki G.Faltings (laureat medalu Fieldsa w 1986 roku) i matematyk angielski D.R.Heath-Brown. Ostatecznie pierwszy poprawny, dokładniej: zawierający niewielką lukę, dowód wielkiego twierdzenia Fermata podał w 1993 roku matematyk amerykański A.Wiles - lukę tę usunął w 1994 roku.

Twierdzeniem Fermata bywa czasami nazywane twierdzenie o warunku koniecznym na istnienie ekstremum lokalnego funkcji rzeczywistej różniczkowalnej.

Twierdzenia.

Twierdzenie to zdanie udowodnione w danej teorii matematycznej. Każdy aksjomat teorii jest również jej twierdzeniem. Na ogół twierdzenia mają postać implikacji lub też implikacji poprzedzonej kwantyfikatorami ogólnymi. Poprzednik implikacji, która jest twierdzeniem nazywa się założeniem twierdzenia, a jej następnik - tezą twierdzenia. Zdanie wynikające w prosty sposób z twierdzenia lub będące jego szczególnym przypadkiem nazywa się wnioskiem z twierdzenia. Jeżeli implikacja (gdzie i są zdaniami lub funkcjami zdaniowymi) jest twierdzeniem to  nazywa się również warunkiem wystarczającym lub warunkiem dostatecznym na to, aby była spełniona własność wyrażona przez , a  nazywa się warunkiem koniecznym tego, by była spełniona własność wyrażona przez .

Terminu twierdzenie używa się też na określenie zdań fałszywych w formie: "następujące twierdzenie nie jest prawdziwe...".

Przykład: W twierdzeniu arytmetyki: "jeżeli liczba naturalna m jest podzielna przez sześć, to jest ona podzielna przez trzy", założeniem twierdzenia jest "m jest podzielna przez sześć", a tezą twierdzenia "m jest podzielna przez trzy". Warunkiem wystarczającym na to, aby liczba m była podzielna przez trzy jest jej podzielność przez sześć, natomiast warunkiem koniecznym podzielności liczby m przez sześć jest jej podzielność przez trzy.

Twierdzenie odwrotne do danego twierdzenia.

Twierdzenie odwrotne do danego twierdzenia to twierdzenie T₁, którego założeniem jest teza danego twierdzenia T,tezą zaś założenie twierdzenia T. Niech będzie dane twierdzenie: ; twierdzenie odwrotne do tego twierdzenia jest zdaniem . Twierdzenie odwrotne do danego nie musi być zdaniem prawdziwym. Twierdzenie odwrotne jest równoważne twierdzeniu przeciwnemu.

Przykład 1: Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia: "w każdym prostokącie przekątne są równe" jest zdanie: "jeżeli przekątne czworokąta są równe, to jest on prostokątem", które jest zdaniem fałszywym (bo np. w trapezie równoramiennym przekątne też są równe).

Przykład 2: Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia: "jeżeli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równy zeru, to jedna z tych liczb jest równa zeru" jest zdanie: "jeżeli jedna z liczb rzeczywistych jest równa zeru, to ich iloczyn jest równy zeru", będące zdaniem prawdziwym.

Twierdzenie przeciwne do danego twierdzenia.

Twierdzenie przeciwne do danego twierdzenia to danie stwierdzające, że negacja założenia twierdzenia implikuje negację jego tezy. Twierdzeniem przeciwnym do twierdzenia  jest zdanie . Na mocy prawa transpozycji twierdzenie przeciwne jest równoważne twierdzeniu odwrotnemu i podobnie jak twierdzenie odwrotne, nie musi być prawdziwe.

Twierdzenie przeciwstawne do danego twierdzenia.

Twierdzenie przeciwstawne do danego twierdzenia to zdanie stwierdzające, że z negacji tezy twierdzenia wynikanegacja jego założenia. Twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia  jest zdanie . Na mocy prawa transpozycji (inaczej: prawa kontrapozycji) twierdzenie przeciwstawne jest równoważne temu twierdzeniu.

Twierdzenia Cantora.

Twierdzenia Cantora, to twierdzenia z różnych działów matematyki (głównie teorii mnogości i analizy matematycznej) noszące imię matematyka niemieckiego G.Cantora.

1) Twierdzenie o mocy zbioru podzbiorów danego zbioru: moc rodziny wszystkich podzbiorów danego zbioru jest większa od mocy tego zbioru.

2) Twierdzenie o jednostajnej ciągłości funkcji na przedziale domkniętym: funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła. Przedział domknięty można zastąpić zbiorem zwartym.

3) Dowolny zstępujący (malejący) ciąg przedziałów domkniętych i ograniczonych ma przecięcie niepuste.

4) W przestrzeni metrycznej zupełnej przecięcie dowolnego zstępującego ciągu niepustych zbiorów domkniętych jest zbiorem jednoelementowym, jeśli ciąg średnic tych zbiorów dąży do zera.