matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Funkcja analityczna.

Funkcja analityczna to funkcja, która może być przedstawiona w postaci szeregu potęgowego. Funkcja analityczna o argumentach i wartościach zespolonych noszą nazwę funkcji holomorficznych. Bardziej precyzyjnie, funkcja f określona w zbiorze D zawartym w zbiorze R wszystkich liczb rzeczywistych lub w zbiorze C wszystkich liczb zespolonych jest analityczna w punkcie x_{0}\in D, gdy istnieje otoczenie punktu x0, w którym f może być przedstawiona w postaci szeregu potęgowego f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+...+an(x-x0)n+... dla x z tego otoczenia, gdzie a0, a1, a2, ... są pewnymi liczbami rzeczywistymi, gdy f jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, zespolonymi zaś, gdy f jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej. Suma występująca po prawej stronie jest rozumiana jako granica ciągu liczbowego f1(x), f2(x), ..., gdzie fn(x)=a0+a1(x-x0)+...+an(x-x0)n dla naturalnych n. Wszystkie operacje algebraiczne, różniczkowanie i całkowanie zastosowane do funkcji analitycznej prowadzą do funkcji analitycznej. Spełniają one warunek jednoznaczności: dwie funkcje analityczne określone w zbiorze otwartym i spójnym D równe na podzbiorze mającym punkt skupienia są równe w całym obszarze. Funkcja analityczna może mieć tylko izolowane miejsca zerowe, w przeciwnym przypadku musi być identycznie równa zeru. Istnieją ważne twierdzenia o rozszerzaniu funkcji analitycznej. Funkcje analityczne mają pochodne dowolnego rzędu, ale nie jest to warunek równoważny analityczności. Istnieją funkcje klasy C^{\infty} nie będące analitycznymi, np. 

h(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} \ dla \ x>0\\0 \ dla \ x\le 0\end{sases}.

Teoria funkcji analitycznej została rozwinięta w XIX wieku w szczególności dzięki pracom matematyka francuskiego A.L.Cauchy'ego oraz matematyków niemieckich G.F.B.Riemanna i K.Weierstrassa. Teoria ta wywodzi się z teorii liczb zespolonych i dziś stanowi główny dział teorii funkcji zmiennych zespolonych.

Dodaj komentarz


Kod antyspamowy
Odśwież