matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Funkcja kwadratowa.

Funkcja kwadratowa (zwana trójmianem kwadratowym), jest to funkcja określona wzorem:

f(x)=ax^2+bx+c

gdzie współczynniki a, b i c są ustalonymi liczbami, przy czym a\neq 0 (gdy jest równe zero to mamy funkcję liniową).

Jest to postać ogólna funkcji kwadratowej. Jest to najczęstsza postać występująca w zadaniach matematycznych. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Natomiast dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową zawsze można sprowadzić do postaci kanonicznej, wyrażonej wzorem:

f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}.

W postaci kanonicznej jawnie podane mamy współrzędne wierzchołka paraboli W(p, q).

p=\frac{-b}{2a},\ q=\frac{-b^{2}+4ac}{4a}

Wyróżnik funkcji kwadratowej.

Liczbę b^{2}-4ac oznaczamy znakiem \Delta i nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej.

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej.

Jeżeli \Delta\ge 0, to funkcję kwadratową można zapisać w postaci iloczynowej, wyrażonej wzorem:

f(x)=a\left(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right).

Miejsca zerowe (pierwiastki).

Od wartości wyróżnika funkcji kwadratowej \Delta zależy ilość miejsc zerowych posiadanych funkcję kwadratową. I tak jeśli:

\Delta >0 istnieją dwa miejsca zerowe:

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

\Delta =0 istnieje jedno podwójne miejsce zerowe:

x_0=\frac{-b}{2a}

\Delta <0 brak jest rzeczywistych miejsc zerowych.

Wzory Viete'a.

Jeśli liczby x1, x2 są dwoma pierwiastkami funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c, to mają miejsce następujące wzory Viete'a:

x_1+x_2=\frac{-b}{a}; x_1*x_2=\frac{c}{a}.

Ekstremum i monotoniczność funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno ebstremum dla argumentu x_0=\frac{-b}{2a}, które wynosi \frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-\Delta}{4a}.

W przypadku, gdy a>0 funkcja kwadratowa ma minimum absolutne, a wykresem funkcji jest parabola, któej wierzchołkiem jest punkt \left(\frac{-b}{2a},\ \frac{-\Delta}{4a}\right), ramiona natomiast są skierowane do góry - funkcja jest malejąca w przedziale \left(-\infty;\ \frac{-b}{2a}\right), rosnąca w przedziale \left(\frac{-b}{2a};\ +\infty\right). Jeżeli natomiast a<0, to funkcja kwadratowa ma maksimum absolutne dla x_0=\frac{-b}{2a}, a wykres jest parabolą o wierzchołku w punkcjie \left(\frac{-b}{2a},\ \frac{-\Delta}{4a}\right) i ramionach skierowanych do dołu - funkcja jest rosnąca w przedziale \left(-\infty;\ \frac{-b}{2a}\right), malejąca w przedziale \left(\frac{-b}{2a};\ +\infty\right)

Dziedzina i zbiór wartości.

Dziedziną funkcji kwadratowej jest zawsze zbiór liczb rzeczywistych f:\textbf{R}\to\textbf{R}.

Funkcja kwadratowa nie jest ograniczona w zbiorze liczb rzeczywistych, ale w zależności od znaku współczynnika a (znak ten bywa nazywany znakiem funkcji kwadratowej) jest ograniczona z dołu (gdy a>0) albi ograniczona z góry (gry a<0). W przypadku gdy \Delta<0, funkcja kwadratowa przyjmuje wartości stałego znaku zgodnie ze znekiem współczynnika a.

Wykres funkcji kwadratowej - parabola.

Od współczynnika a zależy w którą stronę skierowane są ramiona paraboli:

  1. a>0 (dodatnie) - ramiona skierowane w górę, wierzchołek jest minimum funkcji.
  2. a<0 (ujemne) - ramiona skierowane w dół, wierzchołek jest maksimum funkcji.

Kształt paraboli w zależności od a: a>0; a<0

Wykresy funkcji kwadratowej w zależności od parametru a i wyróżnika D:
Wykresy funkcji kwadratowej w zależności od znaku delty przy a>0
Wykresy funkcji kwadratowej w zależności od znaku delty przy a<0

Komentarze   

+3 #1 Marcin 2013-10-10 19:14
*Wzory Viet'a
Cytować