matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Funkcje trygonometryczne.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej, są to funkcje sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg) i cotangens (ctg) określone następująco: jeśli dla pewnej liczby całkowitej k liczba x-2k\pi jest miarą łukową kąta skierowanego \alpha, to \sin x=\sin\alpha,\ \cos x=\cos\alpha,\ tg x=tg\alpha,\ ctg x=ctg\alpha.

Funkcja sinus.

Funkcja sinus jest funkcją określoną w całej dziedzinie, okresową - okres tej funkcji wynosi 2p. Przyjmuje wartości od -1 do +1. Wykresem funkcji sinus jest krzywa zwana sinusoidą.

sinusoida

Funkcja cosinus.

Funkcja cosinus jest funkcją określoną w całej dziedzinie, okresową - okres tej funkcji wynosi 2p. Jest przesunięta względem funkcji sinus o kąt \frac{\pi}{2} (\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)). Przyjmuje wartości od -1 do +1. Wykresem funkcji cosinus jest krzywa zwana cosinusoidą.

 

cosinusoida

Funkcja tangens.

Funkcja tangens jest jest określona, nieparzysta i ciągła w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać (2k-1)\frac{\pi}{2}, gdzie k jest liczbą całkowitą, przybiera wszystkie wartości rzeczywiste, jest okresowa o okresie podstawowym \pi - jej wykresem jest krzywa zwana tangensoidą.

tangensoida

Funkcja cotangens.

Funkcja cotangens jest funkcją nieokreśloną w punktach kp, okresową - okres tej funkcji wynosi p. Przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Jest odwrotnością funkcji tangens - ctg\ x=\frac{1}{tg\ x}. Wykresem funkcji cotangens jest krzywa zwana cotangensoidą.

cotangensoida

 

Wzory zależności pomiędziy funkcjami trygonometrycznymi.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzą związki:

\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!};

\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.

Między funkcjami trygonometrycznymi liczby rzeczywistej tego samego argumentu zachodzą następujące związki:

\sin^{2}x+\cos^{2}x=1;

\frac{\sin x}{\cos x}=tg x;

\frac{\cos x}{\sin x}=ctg x.

Korzystając z tych związków można każdą funkcję trygonometryczną liczby rzeczywistej wyrazić za pomocą innej funkcji trygonometrycznej tego samego argumentu:

\sin^{2}x=1-\cos^{2}x=\frac{tg^{2}x}{1+tg^{2}x}=\frac{1}{1+ctg^{2}x};

\cos^{2}x=1-\sin^{2}x=\frac{1}{1+tg^{2}x}=\frac{ctg^{2}x}{1+ctg^{2}x};

tg x*ctg x=1.

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych są określone wzorami:

\sin x+\sin y=2\sin\frac{1}{2}(x+y)\cos\frac{1}{2}(x-y);

\sin x-\sin y=2\cos\frac{1}{2}(x+y)\sin\frac{1}{2}(x-y);

\cos x+\cos y=2\cos\frac{1}{2}(x-y)\cos\frac{1}{2}(x-y);

\cos x-\cos y=-2\sin\frac{1}{2}(x+y)\sin\frac{1}{2}(x-y)=2\sin\frac{1}{2}(x+y)\sin\frac{1}{2}(y-x);

tg x\pm tg y=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y};

ctg x\pm ctg y=\frac{\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej połowy argumentu wyrażają zależności:

\sin^{2}\frac{1}{2}x=\frac{1-\cos x}{2};

\cos^{2}\frac{1}{2}x=\frac{1+\cos x}{2};

tg^{2}\frac{1}{2}x=\frac{1-\cos x}{1+\cos x};

ctg^{2}\frac{1}{2}x=\frac{1+\cos x}{1-\cos x};

tg\frac{1}{2}x=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x};

ctg\frac{1}{2}x=\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-\cos x}.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej sum i różnic argimentów są określone wzorami:

\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y;

\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y;

tg(x\pm y)=\frac{tg x\pm tg y}{1\mp tg x\ tg y};

ctg(x\pm y)=\frac{ctg x\ ctg x\mp 1}{ctg x\pm ctg y}.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej wielokrotności srgumentów określają wzory:

\sin 2x=2\sin x\cos x;

\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x;

tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^{2}x};

ctg2x=\frac{ctg^{2}x-1}{2ctgx};

\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x;

\cos 3x=4\cos^{3}x-3\cos x;

tg3x=\frac{3tgx-tg^{3}x}{1-3tg^{2}x};

ctg3x=\frac{ctg^{3}x-3ctgx}{3ctg^{2}x-1}.

Secans i cosecans.

Oprócz czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych rozważa się jeszcze dwie funkcje secans i cosecans. Obecnie jednak używane bardzie rzadko. Funkcja secans została wprowadzona przez m.Kopernika w dziele De revolutionibus.

secx=\frac{1}{\cos x}, cosecx=\frac{1}{\sin x}

Dodaj komentarz


Kod antyspamowy
Odśwież