matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Twierdzenia Fermata.

Twierdzenia Fermata to twierdzenia noszące imię matematyka francuskiego P. de Fermata.

1) Małe twierdzenie Fermata: dla dowolnej liczby całkowitej n i liczby pierwszej p liczba np-n jest podzielna przez p. Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest, że jeśli p jest liczbą pierwszą nie będącą dzielnikiem n, to liczba np-1-1 jest podzielna przez p. Twierdzenie to sformułował Fermat w 1640 roku, a udowodnił w 1741 roku szwajcarski matematyk i fizyk L.Euler.

2) Wielkie twierdzenie Fermata: równanie xn+yn=zn nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych dla n>2; tradycyjnie było nazywane twierdzeniem, naprawdę było hipotezą, gdyż nie był znany jego dowód. W niektórych językach znane jest pod nazwą ostatniego twierdzenia Fermata. 

Formułując twierdzenie w 1637 roku, Fermat stwierdził, że znalazł dowód, notatka ta została odnaleziona po jego śmierci. Potrafiono rozstrzygnąć jedynie szczególne przypadki. Dla n=3 hipotezę wykazał Euler w 1753 roku, dla n=4 twierdzenie jest szczególnym przypadkiem pewnego prostego zadania (rozwiązanego przez samego Fermata jeszcze przed sformułowaniem wielkiego twierdzenia), dla n=5 problem rozstrzygnęli niezależnie od siebie w 1825 roku matematyk niemiecki P.G.Lejeune Dirichlet i matematyk francuski G.Lame.

Wielu matematykaów (i niematematyków) ogłaszało, że wykazali wielkie twierdzenie Fermata - ich rozumowania jednak zawsze okazywały się błędne. Pomyłki popełniali tu także i wybitni uczeni, w szczególności tej miary, co Euler, niemiecki matematyk i fizyk C.F.Gauss i matematyk francuski J.L. de Lagrange. Ogromna liczba "rozwiązań" pojawiła się po 1907 roku, kiedy to P.Wolfskehl ufundował nagrodę w wysokości 100 tys. matek niemieckich za rozstrzygnięcie problemu (po I wojnie światowej nagroda się zdewaluowała). W badaniach matematyki współczesnej wielkie twierdzenia Fermata nie było już problemem specjalnie ważnym dla rozwoju matematyki. Próby jego rozstrzygnięcia doprowadziły jednak do znacznego postępu rozmaitych działów matematyki - w szczególności badania matematyka niemieckiego E.E.Kummera w XIX wieku doprowadziły do istotnego rozwoju algebry. Tym niemniej osiągano współcześnie ważne rezultaty, powiązane w tym problemem, zwłaszcza dotyczące geometrii algebraicznej. Istotne rezultaty osiągali między innymi matematyk niemiecki G.Faltings (laureat medalu Fieldsa w 1986 roku) i matematyk angielski D.R.Heath-Brown. Ostatecznie pierwszy poprawny, dokładniej: zawierający niewielką lukę, dowód wielkiego twierdzenia Fermata podał w 1993 roku matematyk amerykański A.Wiles - lukę tę usunął w 1994 roku.

Twierdzeniem Fermata bywa czasami nazywane twierdzenie o warunku koniecznym na istnienie ekstremum lokalnego funkcji rzeczywistej różniczkowalnej.

Komentarze   

0 #5 Leszek W. Guła 2017-01-21 15:28
Równanie x^2 + y^2 + z^2 = t^2 wynika z równania Diofantosa, więc nie może być zdaniem z twierdzenia żadnego innego człowieka.
Równanie x^2 + y^2 + z^2 = t^2 ma nieskończenie wiele rozwiązań [x,y,z,t] w Z.
W Z, czyli zawartych w Z. Każde rozwiązanie [x,y,z,t] zawiera się w zbiorze liczb całkowitych.
3^{2} + 4^{2} +12^{2} = 13^{2}.
Reszta, to szkoła podstawowa. Nie gimnazjum.
A to? http://lwgula.pl.tl/
Poziom gimnazjum, góra szkoły średniej.
Cytować
0 #4 Bogdan 2017-01-21 09:36
Czy wiemy cos o rozszerzonym twierdzeniu Fermata:

z^2 = x^2 + y^2 + t^2
Cytować
0 #3 Edek 2016-03-19 11:28
Z checia bym dodal komentarz, ale moj zasob wiedzy musialby byc przynajmniej 1/100000 czastka wiedzy Leszka W. Guła, a prawda jest taka, ze ja do dzisiaj nie wiem ile jest 7X8 bez policzenia 7X7=49 a teraz na palcach... 49+7= eureka!! 56 ?
Cytować
-1 #2 Leszek W. Guła 2014-12-21 17:51
Fermat nie podał dowodu dla n=4. Liczba 4 nie dzieli podstawy składnika parzystego. Jeżeli przyjmiemy, że 4 jest podzielnikiem jedynej parzystej podstawy potęgi, to dowód WTF dla n=4 będzie fałszywy. Wtedy zbędna jest metoda regresji kwadratów, gdyż suma kwadratów: różnicy przyprostokątnych i sumy przyprostkokątnych jest równa podwojonemu kwadratowi przeciwprostokątnej, co niemal natychmiast daje sprzeczność. Prawdziwym cudem jest fakt, że tylko ja to spostrzegłem.
Wykładniki są nietykalne, ale rzeczywiście wystarczy dowieść WTF dla n=4 i dla liczb pierwszych n>2.
http://lgula.energo24.pl/
Cytować
0 #1 Leszek W. Guła 2013-04-01 21:58
[X,Y,Z] zawarte w N. Wykładniki potęg w każdej trójce muszą być jednakowo maksymalne, a ich podstawy jednakowo minimalne. To oznacza, że nie wolno zastąpić dowodu WTF, np. dla n=15, dowodami dla n=3 i n=5, ani na odwrót. X,Y,Z w [X,Y,Z] są związane w sposób parami nietykalny. Wykładniki tych potęg są nieredukowalne, niezależnie od tego, czy trójka jest rozwiązaniem prymitywnym, czy nie. Krótko: dowody fałszywości równań (są sensacyjne - pracę wysłałem wczoraj, to nie żart) : X^{4}+Y^{4}=z^{2}, x^{2}=Z^{4}-Y^{4} i X^{4}+Y^{4}=Z^{4} są parami różne i parami niezastępowalne. Innymi słowy, gdyby faktycznie spełnione było równanie X^{15} + Y^{15} = Z^{15}, to liczby w każdym rozwiązaniu byłyby podstawami potęg o n=15, a nie o m=5 lub m=3. O tym, jaki taki sam wykładnik > 1 jest nad każdym z trzech elementów rozwiązania [X,Y,Z] decyduje "przewaga" dwóch z nich
(jedna jaskółka wiosny nie czyni). Google: lwgula
Cytować