Rachunek prawdopodobieństwa - klasyczna definicja i przykłady

Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa.

-	Rachunek prawdopodobieństwa zaczął się kształtować w XVI wieku gdy zaczęto zauważać pewne prawidłowości w grach hazardowych. Pierwszy dostrzegł je i próbował opisać matematyk włoski Girolamo Cardano (1501-1576).
-	Poważniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa nastąpił w wieku XVII dzięki pracom P. de Fermat'a i B. Pascal'a (matematycy francuscy).
-	Za twórcę rachunku prawdopodobieństwa jako działu matematyki uważamy szwajcarskiego matematyka Jakuba Bernoulliego, którego „Ars Conjectandi" ukazała się pośmiertnie w 1713 roku.
-	Duży wkład i szybki rozwój tej nauki nastąpił w XIX wieku dzięki pracom Gaussa, Laplace'a, Poissona, Czebyszewa.
-	Pełnego opracowania i sformalizowania doczekał się rachunek prawdopodobieństwa dopiero w wieku XX dzięki pracom A. Kołmogorowa, matematyka rosyjskiego.
-	Rachunek prawdopodobieństwa stał się podstawą nowoczesnej fizyki - fizyki kwantowej opisującej zachowanie się mikrocząstek. Fizycy kwantowi wykazali, że w świecie mikrocząstek obowiązują prawa probabilistyczne czyli oparte na rachunku prawdopodobieństwa.

I. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa.

Rozważając pewne zdarzenia losowe będziemy określać zbiór zdarzeń elementarnych oznaczanych literką Ω. Są to wszystkie możliwe zdarzenia, które mogą zajść w pewnym doświadczeniu losowym np.:

rzut kostką.

Ω={1,2,3,4,5,6}

rzut trzykrotnie monetą:

Ω={(O,O,O);(O,O,R);(O,R,O);(R,O,O);(R,R,R);(R,R,O);(R,O,R);(O,R,R)}

losujemy dwie karty z talii 24 kartowej:

Ω={(9♣,9♦)...(9♣,A♣)...(A♥,A♠)}

W matematyce najczęściej każdy obiekt numerujemy co pozwala na wyłączne posługiwanie się liczbami, np. w ostatnim przypadku możemy postąpić następująco:

Karty=

\begin{array}{cccc} \{9\clubsuit, & 9\diamondsuit, & \ldots, & A\spadesuit\} \\ \downarrow & \downarrow & & \downarrow \\ 1 & 2 & & 24 \end{array}

Wszystkich możliwych par jest bardzo dużo. Zbiór zdarzeń elementarnych można jednak opisać posługując się "domyślnymi" wielokropkami:

Ω={(1,2)(1,3)(1,4)....(1,24)(2,1)(2,3)(2,4)....(2,24)....(24,1)(24,2)....(24,23)}

Bardzo ważna będzie umiejętność przeliczenia ilości zdarzeń elementarnych. Można zdarzenia wypisać i przeliczyć, wypisać z wielokropkami i domyślnie przeliczyć, zastosować pewne zasady lub wzory do przeliczenia ilości zdarzeń.

n(Ω) - ilość zdarzeń elementarnych.

Dla powyższych przykładów mamy:

n(Ω₁)=6

n(Ω₂)=8

n(Ω₃)=24·23=552

Wśród zdarzeń elementarnych interesowały nas będą niektóre zdarzenia. Będziemy je nazywali zdarzeniami sprzyjającymi, np. losując 6 liczb w totolotku interesowała nas będzie jakaś wygrana a więc zdarzenie polegające na tym aby wśród sześciu wylosowanych liczb były przynajmniej trzy nasze.

Zdarzenia sprzyjające oznaczamy dużymi literami z początku alfabetu np.:

A={6}	-wypadła szóstka
B={(O,O,O);(R,R,R)}	-trzy razy moneta upadła tą samą stroną
C={(9♣,9♦)...(9♣,9♥)...(A♥,A♠)}	-wylosowane karty tworzą parę

Będziemy musieli przeliczać ilość zdarzeń sprzyjających. W zadaniach wymienionych wyżej będą to następujące ilości:

n(A₁)=1

n(B₂)=2

n(C₃)=6·4·3=72

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa mówi nam, że prawdopodobieństwo to liczba obliczona ze wzoru:

P(A)=

\frac{n(A)}{n(\Omega)}

P(A) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A
n(A) - ilość zdarzeń sprzyjających
n(Ω) - ilość zdarzeń elementarnych

P(A₁)=

\frac{1}{6}

P(B₂)=

\frac{2}{8}

\frac{1}{4}

P(C₃)=

\frac{72}{552}

\frac{6}{46}

\frac{3}{23}

Uwaga:

W większości podręczników i na wykładach rachunku prawdopodobieństwa wprowadza się zformalizowany zapis zbiorów zdarzeń. W naszych trzech przykładach zapisy takie wyglądałby następująco:

Ω₁={ω: ω={r} ; r∈{1,2,....,6} }
Ω₂={ω: ω=(m₁,m₂,m₃) ; m_i∈{O,R} ; i=1,2,3}
Ω₃={ω: ω=(k₁,k₂) ; k₁∈{1,....,24} ; k₂∈{1,....,24} ; k₁≠k₂ }

W naszych wykładach zapisu formalnego nie będziemy wprowadzać, z uwagi na to, iż często jest bardzo skomplikowany i przez uczniów nierozumiany, co zniechęca do nauki rachunku prawdopodobieństwa. Przy obliczaniu prawdopodobieństwa zapis ten niczemu nie służy i jest zbędnym balastem. Ponadto bardziej skomplikowane zdarzenia często nie dają zapisać się w tej formie.

II. Elementarne zadania.

Zad.1.

Rzucamy 2-krotnie kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie ≥ 10?

Ω={	(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6) (2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6) (3,1);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6) (4,1);(4,2);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6) (5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6) (6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5);(6,6)}

n(Ω)=36

A={(4,6);(5,5);(5,6);(6,6);(6,5);(6,4)}

n(A)=6

P(A)=

\frac{6}{36}

\frac{1}{6}

Zad.2.

Ze zbioru cyfr Z losujemy 3 cyfry bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo ułożenia z nich (układamy je w kolejności losowania) liczby podzielnej przez 3?

z={1,2,3,4}

Ω={	(1,2,3)(1,2,4)(1,3,2) (1,3,4)(1,4,2)(1,4,3) (2,1,3)(2,1,4)(2,3,1) (2,3,4)(2,4,1)(2,4,3) (3,1,2)(3,1,4)(3,2,1) (3,2,4)(3,4,1)(3,4,2) (4,1,2)(4,1,3)(4,2,1) (4,2,3)(4,3,1)(4,3,2)}

n(Ω)=24

A={(123)(132)(213)(231)(234)(243)(312)(321)(324)(342)(423)(432)}

n(A)=12

P(A)=

\frac{n(A)}{n(\Omega)}

\frac{12}{24}

\frac{1}{2}

III. Matematyczne sposoby opisywania zbiorów i zdarzeń. Sposoby przeliczania ilości zdarzeń losowych

Matematyczny sposób opisu zbioru zdarzeń, który będziemy omijać z powodów wymienionych wcześniej.

Opis zdarzeń z poprzedniego zadania (Zad. nr 2):

Ω={	ω: ω	=(c₁,c₂,c₃);	c_i∈{1,2,3,4};	i≠j⇒c_i≠c_j}
	[1]	[2]	[3]	[4]

[1]	Zbiór Ω składa się z elementów ω, po dwukropku następuje opis elementów.
[2]	ω jest ciągiem 3 elementowym.
[3]	Elementy ciągu należą do zbioru.
[4]	Jeśli wskaźniki są różne to i elementy są różne. Elementy nie mogą się powtarzać.

My będziemy opisywać zbiór słownie a jeśli się da i jest taka potrzeba przez wypisanie jego elementów. W obliczaniu prawdopodobieństw matematyczny opis zdarzeń jak już wspominaliśmy do niczego się nie przydaje. Ważna jest - zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo - ilość zdarzeń w zbiorze.

Przeliczanie zbiorów zdarzeń.
W zbiorach tych mamy do czynienia z ciągami (kolejność ważna) lub podzbiorami (kolejność dowolna).

a) ciągi zapisujemy w nawiasach okrągłych
ω=(a₁,a₂,a₃,...,a_n)
b) podzbiory będziemy oznaczali nawiasem klamrowym
ω={z₁,z₂,z₃,...,z_n}
W podzbiorach elementy nie będą się powtarzać, a kolejność ich wymieniania jest bez znaczenia.

Sposoby przeliczania ilości zdarzeń losowych:

a)	przy małej ilości zdarzeń wypisujemy je i przeliczamy.
b)	przy większej ilości zdarzeń prostych do usystematyzowania wypisujemy je z wielokropkami i domyślnie przeliczamy.
c)	przy dużych ilościach zdarzeń-ciągów będziemy stosowali regułę mnożenia.

ω=(c₁,c₂,c₃...c_n)
n(Ω)=i₁·i₂·i₃·...·i_n
i_k-ilość możliwych zmian na każdym miejscu ciągu. Zilustrujemy to przykładem z zadania nr 2:
z={1,2,3,4}
n(Ω)=4·3·2=24
n(Ω)=2·2·2·2·2=32

Możliwość stosowania reguły mnożenia do zdarzeń będących podzbiorami.
Przy obliczaniu prawdopodobieństwa można zawsze założyć, że kolejność jest ważna, gdyż ilość zdarzeń sprzyjających i elementarnych wzrośnie wówczas proporcjonalnie i otrzymamy te same prawdopodobieństwa.

P(A)=

\frac{n(\{A\})}{n(\Omega)}

P(A)=

\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{k\cdot n\{A\}}{k\cdot n\{\Omega\}}=\frac{n\{A\}}{n\{\Omega\}}

Gdzie:
n((Ω))-ilość ciągów
n({Ω})-ilość podzbiorów

Zadanie 3.

W urnie znajdują się 3 kule białe {1,2,3} oraz 2 czarne {4,5}. Losujemy z urny 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że będą jednokolorowe.

Rozwiązanie I

Rozwiązanie z zastosowaniem podzbiorów.

Z={1,2,3,4,5}

Ω={	{1,2}{1,3}{1,4}{1,5} {2,3}{2,4}{2,5} {3,4}{3,5} {4,5}}

n(Ω)=10
n(A)=4
P(A)=

\frac{n(A)}{n(\Omega)}

\frac{4}{10}

\frac{2}{5}

Rozwiązanie II

Rozwiązanie zadania za pomocą ciągów i reguły mnożenia:

n(Ω)=5·4=20
A={(1,2);(2,1);(1,3);(3,1);(2,3);(3,2);(4,5);(5,4)}
n(A)=8
P(A)=

\frac{8}{20}

\frac{2}{5}

IV. Przykładowe zadanie maturalne z rachunku prawdopodobieństwa.

Powyższa elementarna wiedza z rachunku prawdopodobieństwa, pozwala już na rozwiązanie nawet części zadań z poziomu maturalnego.

MATURA II - 2002

Zadanie 4.

Ze zbioru liczb całkowitych spełniających nierówność x²-8x≤0

obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, których suma wynosi 8,

obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb pierwszych,

obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, których iloczyn jest większy od 10 pod warunkiem, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

Rozwiązania.

x²-8x≤0
Z={x: x∈R; x²-8x≤0; x∈C}
x²-8x≤0
x²-8x=0
Δ=b²-4ac
Δ=64

\sqrt{\Delta}

=8
x₁=

\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

=0
x₂=

\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

=8

x∈<0,8>

Wypisujemy zbiór zdarzeń elementarnych. Zdarzenia sprzyjające podkreślimy.

Z={0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Ω={

(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,5)(0,6)(0,7)(0,8)
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)(1,0)
(2,0)(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)
(3,0)(3,1)(3,2)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)
(4,0)(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)
(5,0)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,6)(5,7)(5,8)
(6,0)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,7)(6,8)
(7,0)(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,8)
(8,0)(8,1)(8,2)(8,3)(8,4)(8,5)(8,6)(8,7)}

n(Ω)=8·9=72
n(A)=8
l₁+l₂=8
P(A)=

\frac{n(A)}{n(\Omega)}

\frac{8}{72}

\frac{1}{9}

Z={2,3,5,7} -liczby pierwsze

Wypisujemy zbiór zdarzeń sprzyjających:

A={	(2,3)(2,5)(2,7) (3,2)(3,5)(3,7) (5,2)(5,3)(5,7) (7,2)(7,3)(7,5)}

n(A)=12
n(Ω)=72
P(A)=

\frac{n(A)}{n(\Omega)}

\frac{12}{72}

\frac{1}{6}

Podpunktu c) aktualnie nie będziemy rozwiązywać, gdyż nie znamy pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego.

V. Wzory na przeliczanie zbioru zdarzeń. Zastosowanie.

Niektóre zadania jest trudno rozwiązać stosując regułę mnożenia. Niech za przykład posłuży nam zadanie z MATURY 2000 wariant 1 zadanie 5.

Zadanie 5.

W urnach U₁ i U₂ znajdują się kule oznaczone numerami 1,2,3,4. Skład kul ilustrują diagramy:

U₁ 20 kul	Numer	1	2	3	4
U₁ 20 kul	Ilość	4	5	5	6

U₂ 24 kule	Numer	1	2	3	4
U₂ 24 kule	Ilość	12	6	4	2

Z urny U₁ wylosowano ze zwracaniem 5x po jednej kuli.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że kulę z numerem 3 wylosowano dwa razy?

Z urny U₂ wylosowano kolejno bez zwracania 4 kule.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule mają inne numery?

Z obu urn wylosowano po jednej kuli.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma numerów wylosowanych kul jest większa niż 3?

Ad. a)

U₁ → 5k (ze zwracaniem)
n(Ω)=20·20·20·20·20=3 200 000

Jest 5 kul z numerem 3 oraz 15 kul o innych numerach. Ponieważ musimy uwzględnić wystąpienie dwóch kul z nr 3 na dowolnym miejscu ciągu losowania postępujemy następująco:

n(A)=5\cdot5\cdot15\cdot15\cdot15+5\cdot15\cdot5\cdot15\cdot15+15\cdot5\cdot5\cdot15\cdot15+\ldots=(5\cdot5\cdot15\cdot15\cdot15)\cdot10

gdyż w każdym składniku sumy występuje ten sam iloczyn choć w różnej kolejności składników.

P(A)=

\frac{n(A)}{n(\Omega)}

P(A)=

\frac{5^2\cdot15^3\cdot10}{20^5}=\frac{135}{512}

≈0,26

Ad. b)

n(Ω)=24·23·22·21

n(A)=12\cdot6\cdot4\cdot2+12\cdot6\cdot2\cdot4+12\cdot4\cdot6\cdot2+12\cdot4\cdot2\cdot6+\ldots

Ze względu na dużą ilość możliwych ustawień "3" reguła mnożenia jest tutaj uciążliwa w zastosowaniu, w związku z czym zrezygnujemy z powyższego sposobu. Można rozwiązać zadanie za pomocą podzbiorów, w których kolejność występowania "3" jest bez znaczenia. Omówimy wzór na przeliczanie takich podzbiorów.

Podzbiory k-elementowe losowane ze zbioru n-elementowego (kolejność nieważna) nazywamy kombinacjami.

C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}

;
n! -czytamy "n-silnia" a obliczamy następująco:

n!=1·2·3·4·...·n

n(Ω)=

\binom{24}{4}=\frac{24!}{4!\,20!}=\frac{20!\cdot21\cdot22\cdot23\cdot24}{20!\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4}

=21·22·23
n(A)=

C_{12}^1\cdot C_6^1\cdot C_4^1\cdot C_2^1

=12·6·4·2 bo

C_n^1

=n

P(A)=

\frac{2\cdot4\cdot6\cdot12}{21\cdot22\cdot23}=\frac{8\cdot12}{7\cdot11\cdot23}=\frac{96}{1771}

≈0,05

Wzory na liczbę permutacji, wariacji i kombinacji, z których korzysta się przy liczeniu zdarzeń, zebraliśmy na stronie kombinatoryka.