Ciąg geometryczny

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu go poprzedzającego jest stały dla danego ciągu (oznaczamy go przez q).

np.    2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2    itd.
iloraz wynosi q = 2
Powyższy ciąg jest geometryczny


np.    2, 8, 11, 22, 25, 50
8 : 2 = 4
11 : 8 = 1
22 : 11 = 2    itd.
iloraz nie istnieje
Powyższy ciąg nie jest geometryczny

Najważniejsze wzory:
= q an ≠ 0
an = a1 · qn − 1 wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Sn = a1 · q ≠ 1
wzór na sume n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego
S = a1 · |q| < 1
wzór na sume wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego

Przykłady:

Zad. 1
Czy ciąg an = n2 jest geometryczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy iloraz jest stały (jest liczbą).

Utwórzymy ten iloraz:
korzystamy ze wzoru
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2


Iloraz nie jest stały, zależy od n, zmienia swoją wartość wraz ze zmianą n.
Ciąg an = n2 nie jest geometryczny.


Zad. 2
Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a1 = 2; q = 1,25; n = 4 znajdź: an; Sn.
Rozwiązanie:
Najpierw znajdujemy an (n-ty wyraz ciągu geometrycznego).
W tym celu posłużymy się wzorem an = a1 · qn−1.

an = a1 · qn−1
a4 = 2 · (1,25)4 − 1
a4 = 2 · (1,25)3 = 2 · =
= 2 · =

do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania


Teraz znajdujemy Sn (sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego).
W tym celu posłużymy się wzorem  Sn = a1 ·

S4 = 2 · = 2 · =
= 2 · (−4) · (1 − ) =
= −8 · (1 − ) =
= −8 · () =
= −8 · =
= − =
S4 =

do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania


Odp. a4 = ,   S4 =