matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Funkcja wymierna.

Funkcja wymierna to funkcja

x\mapsto\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{0}}

będąca ilorazem dwóch wielomianów g i h stopni odpowiednio n i m (a_{n}\neq 0,\ b_{m}\neq 0).

Funkcja charakterystyczna.

Funkcja charakterystyczna zbioru Y\subset X to funkcja f: \ X\to \textbf{R} określona następująco:

f(x)=\begin{cases} 1,\ x\in Y,\\ 0,\ x\not\in Y.\end{cases}

Funkcję charakterystyczną oznacza się też \chi_{Y} lub 1Y. Funkcje charakterystyczne są często stosowane w teorii miary i całki Lebesgue'a. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta.

Funkcja Dirichleta.

Funkcja Dirichleta to funkcja określona następująco:

f(x)=\begin{cases} 1, dla\ x\ wymiernych,\\ 0, dla\ x\ niewymiernych.\end{cases}

Funkcja Dirichleta oznacza się często przez \chi_{Q}, jest to funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych. Funkcja Dirichleta ma wiele interesujących własności: jest nieciągła w dowolnym punkcie swojej dziedziny, jest okresowa, jej okresami są wszystkie liczby wymierne dodatnie, nie ma okresu zasadniczego, na żadnym przedziale nie jest całkowalna w sensie Riemanna, natomiast na dowolnym podzbiorze A\subset R mierzalnym w sensie Lebesque'a, jest całkowalna w sensie Lebesgue'a i ta całka wynosi zero.

Wielomiany


1.Definicja wilomianu - Wilomian jest to funkcja w postaci:

W(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x1+a0x0

akxk - wyraz stopnia k; ak - współczynnik wyrazu stopnia k; a0x0 = a0 - wyraz wolny; n- stopień W(x)
W(x) = 6x5 - 2x4 + 3x2 - x + 7 gdzie: -2x4 - wyraz 4 - stopnia; 3 - współczynnik przy x2; 7 - wyraz wolny
W(x) = 6x5 - 2x4 + 0x3 + 3x2 - x + 7 wielomian uzupełniony do pełnego; 5 - stopień wielomianu

2. Równania wielomianowe
Równanie wielomianowe otrzymujemy przyrównując wielomiany do zera.
W(x) = 2x3 - 3x2 + 3x - 2 = 0

3. System twierdzeń o miejscach zerowych:
I Twierdzenie o ilości pierwiastków (rozwiązań) równania wielomianowego.
n - parzyste ;W(x) stopnia parzystego może mieć od 0 do n pierwiastków
n - nieparzyste; W(x) stopnia nieparzystego może mieć od 1 do n pierwiastków

II Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki.
Każdy wielomian można rozłożyć na funkcje liniowe i kwadratowe.
W(x) da się rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego i drugiego.
Nie znaleziono ogólnej metody na dokonywanie powyższego rozkładu.

4. Metody rozkładania wielomianu na czyniki.
a) Gdy a0 = 0 to wyłanczamy x przed nawias: 2x3 - 4x2 - x = 0   →  x(2x2 - 4x - 1) = 0 ⇔  x = 0 ∨ 2x2 - 4x - 1 = 0
b) Gdy współczynniki są odpowiednio dobrane, rozkładamy przez podwójne wyłączanie przed nawias.
x3 + 3x2 - 4x - 12 = 0
x2(x+3) - 4(x+3) = 0
(x+3)(x2 - 4 x) = 0  ⇔x + 3 = 0 ∨ x2 - 4x=0
c) Rozkład poprzez dziedzlenie. Umożliwia to następujący system twierdzeń.

III Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.
Jeżeli wielomian ma pierwiastek całkowity to musi on dzielić wyraz wolny.
x3 - 9x2 + 15x - 7 = 0 jeżeli x0 ∈ C ⇒ x0 | 7 czyli x0∈{±1,±7}
Spr. W(1) = 1 - 9 + 15 - 7 = 16 - 16 = 0

IV Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

x0W ⇒ x0 = n/m ∧ n | a0 ∧ m | an
2x3 - 5x2 - 4x + 3 = 0
x0 ∈ W => x0 = n/m ∧ n | 3 ∧ m | 2 => x0 ∈ {±&u1-2;;±1&u1-2;}

V Twierdzenie o podziale wielomianów - Tw.Bezou
W(x0) = 0 ⇔ (x-x0) | W(x)
x0 jest pierwiastkiem wielomianu ⇔ gdy wielomian jest podzielny przez (x-x0)
W(x) = 2x3 - 5x -4x + 3; x0 ∈ { ±1;±3}-III Tw.
W(3) = 2*27 - 5*9 - 12 + 3 = 54 - 45 -12 + 3 = 57 - 57 = 0
dzielnik W(x) to (x-3), po przeprowadzeniu dzielenia wynik jest równy 2x2 + x - 1
W(x) = (x - 3)*(2x2 + x -1) = 0 ⇔ (x-3) = 0 ∨ (2x2+ x - 1) = 0

5.NIerówności wielomianowe

a) Aby rozwiązać nierówność W(x)≥  0 rozwiązujemy najpierw równanie:
W(x) = 0

b) Rozkładamy zatem wielomiany na czynniki liniowe i kwadratowe W(x) = W1 * W2...
Znajdujemy wszystkie miejsca zerowe, zwracając uwagę na krotność pierwiastków.
W(x) = (x-2)(x-2)(x2 + 5) x0=2 pierwiastek dwukrotny

c) szkicujemy wykres wielomianu

Jest to wykres typu "fala" zależy od stopnia wielomianu.
Przy szkicowaniu bierzemy pod uwagę znak przy najwyższej potędze "x", wykres szkicujemy od prawej strony.
W miejscach zerowych o nieparzystej krotność wielomian zmienia znak!
Niech W(x) = (x-1)(x-2)(x-2)

(zmienia znak i przecina oś)
natomiast w miejscu zerowym o parzystej krotności wielomian nie zmienia znaku.

(nie zmienia znaku, dotyka osi - odbija się od osi)

d) zaznaczamy znaki na wykresie.

- znaki robimy między wykresem a osią X.
- odczytujemy potrzebne przedziały w których wielomian przybiera odpowiedajace nierówności wartości.

Funkcja algebraiczna.

Funkcja algebraiczna to funkcja spełniająca równanie algebraiczne - funkcja f, dla której istnieje wielomian niezerowy W dwóch zmiennych taki, że równanie W(x,f(x))=0 jest spełnione dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f.Przykładami funkcji algebraicznej są: wielomiany, funkcje wymierne i funkcje niewymierne, tzn. funkcje, których zależność od zmiennej x wyraża się za pomocą działań arytmetycznych i pierwistków, np. f(x)=x+\sqrt[3]{x-\sqrt{x}}. Jeżeli wielomian W dodatniego stopnia względem drugiej zmiennej znika w pewnym punkcie (x0, y0) i jego pochodna cząstkowa względem y jest w tym punkcje różna od 0, to istnieje otoczenie x0 i dokładnie jedna funkcja algebraiczna określona w tym otoczeniu, związana z tym wielomianem. Funkcja ta tylko w wyjątkowych wypadkach wyraża się za pomocą pierwiastków.

Funkcje trygonometryczne.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej, są to funkcje sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg) i cotangens (ctg) określone następująco: jeśli dla pewnej liczby całkowitej k liczba x-2k\pi jest miarą łukową kąta skierowanego \alpha, to \sin x=\sin\alpha,\ \cos x=\cos\alpha,\ tg x=tg\alpha,\ ctg x=ctg\alpha.

Funkcja sinus.

Funkcja sinus jest funkcją określoną w całej dziedzinie, okresową - okres tej funkcji wynosi 2p. Przyjmuje wartości od -1 do +1. Wykresem funkcji sinus jest krzywa zwana sinusoidą.

sinusoida

Funkcja cosinus.

Funkcja cosinus jest funkcją określoną w całej dziedzinie, okresową - okres tej funkcji wynosi 2p. Jest przesunięta względem funkcji sinus o kąt \frac{\pi}{2} (\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)). Przyjmuje wartości od -1 do +1. Wykresem funkcji cosinus jest krzywa zwana cosinusoidą.

 

cosinusoida

Funkcja tangens.

Funkcja tangens jest jest określona, nieparzysta i ciągła w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać (2k-1)\frac{\pi}{2}, gdzie k jest liczbą całkowitą, przybiera wszystkie wartości rzeczywiste, jest okresowa o okresie podstawowym \pi - jej wykresem jest krzywa zwana tangensoidą.

tangensoida

Funkcja cotangens.

Funkcja cotangens jest funkcją nieokreśloną w punktach kp, okresową - okres tej funkcji wynosi p. Przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Jest odwrotnością funkcji tangens - ctg\ x=\frac{1}{tg\ x}. Wykresem funkcji cotangens jest krzywa zwana cotangensoidą.

cotangensoida

 

Wzory zależności pomiędziy funkcjami trygonometrycznymi.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzą związki:

\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!};

\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.

Między funkcjami trygonometrycznymi liczby rzeczywistej tego samego argumentu zachodzą następujące związki:

\sin^{2}x+\cos^{2}x=1;

\frac{\sin x}{\cos x}=tg x;

\frac{\cos x}{\sin x}=ctg x.

Korzystając z tych związków można każdą funkcję trygonometryczną liczby rzeczywistej wyrazić za pomocą innej funkcji trygonometrycznej tego samego argumentu:

\sin^{2}x=1-\cos^{2}x=\frac{tg^{2}x}{1+tg^{2}x}=\frac{1}{1+ctg^{2}x};

\cos^{2}x=1-\sin^{2}x=\frac{1}{1+tg^{2}x}=\frac{ctg^{2}x}{1+ctg^{2}x};

tg x*ctg x=1.

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych są określone wzorami:

\sin x+\sin y=2\sin\frac{1}{2}(x+y)\cos\frac{1}{2}(x-y);

\sin x-\sin y=2\cos\frac{1}{2}(x+y)\sin\frac{1}{2}(x-y);

\cos x+\cos y=2\cos\frac{1}{2}(x-y)\cos\frac{1}{2}(x-y);

\cos x-\cos y=-2\sin\frac{1}{2}(x+y)\sin\frac{1}{2}(x-y)=2\sin\frac{1}{2}(x+y)\sin\frac{1}{2}(y-x);

tg x\pm tg y=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y};

ctg x\pm ctg y=\frac{\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej połowy argumentu wyrażają zależności:

\sin^{2}\frac{1}{2}x=\frac{1-\cos x}{2};

\cos^{2}\frac{1}{2}x=\frac{1+\cos x}{2};

tg^{2}\frac{1}{2}x=\frac{1-\cos x}{1+\cos x};

ctg^{2}\frac{1}{2}x=\frac{1+\cos x}{1-\cos x};

tg\frac{1}{2}x=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x};

ctg\frac{1}{2}x=\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-\cos x}.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej sum i różnic argimentów są określone wzorami:

\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y;

\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y;

tg(x\pm y)=\frac{tg x\pm tg y}{1\mp tg x\ tg y};

ctg(x\pm y)=\frac{ctg x\ ctg x\mp 1}{ctg x\pm ctg y}.

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej wielokrotności srgumentów określają wzory:

\sin 2x=2\sin x\cos x;

\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x;

tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^{2}x};

ctg2x=\frac{ctg^{2}x-1}{2ctgx};

\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x;

\cos 3x=4\cos^{3}x-3\cos x;

tg3x=\frac{3tgx-tg^{3}x}{1-3tg^{2}x};

ctg3x=\frac{ctg^{3}x-3ctgx}{3ctg^{2}x-1}.

Secans i cosecans.

Oprócz czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych rozważa się jeszcze dwie funkcje secans i cosecans. Obecnie jednak używane bardzie rzadko. Funkcja secans została wprowadzona przez m.Kopernika w dziele De revolutionibus.

secx=\frac{1}{\cos x}, cosecx=\frac{1}{\sin x}