Wielomiany
1.Definicja wilomianu - Wilomian jest to funkcja w postaci:
W(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x1+a0x0
akxk - wyraz stopnia k; ak - współczynnik wyrazu stopnia k; a0x0 = a0 - wyraz wolny; n- stopień W(x)
W(x) = 6x5 - 2x4 + 3x2 - x + 7 gdzie: -2x4 - wyraz 4 - stopnia; 3 - współczynnik przy x2; 7 - wyraz wolny
W(x) = 6x5 - 2x4 + 0x3 + 3x2 - x + 7 wielomian uzupełniony do pełnego; 5 - stopień wielomianu
2. Równania wielomianowe
Równanie wielomianowe otrzymujemy przyrównując wielomiany do zera.
W(x) = 2x3 - 3x2 + 3x - 2 = 0
3. System twierdzeń o miejscach zerowych:
I Twierdzenie o ilości pierwiastków (rozwiązań) równania wielomianowego.
n - parzyste ;W(x) stopnia parzystego może mieć od 0 do n pierwiastków
n - nieparzyste; W(x) stopnia nieparzystego może mieć od 1 do n pierwiastków
II Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki.
Każdy wielomian można rozłożyć na funkcje liniowe i kwadratowe.
W(x) da się rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego i drugiego.
Nie znaleziono ogólnej metody na dokonywanie powyższego rozkładu.
4. Metody rozkładania wielomianu na czyniki.
a) Gdy a0 = 0 to wyłanczamy x przed nawias: 2x3 - 4x2 - x = 0 → x(2x2 - 4x - 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 2x2 - 4x - 1 = 0
b) Gdy współczynniki są odpowiednio dobrane, rozkładamy przez podwójne wyłączanie przed nawias.
x3 + 3x2 - 4x - 12 = 0
x2(x+3) - 4(x+3) = 0
(x+3)(x2 - 4 x) = 0 ⇔x + 3 = 0 ∨ x2 - 4x=0
c) Rozkład poprzez dziedzlenie. Umożliwia to następujący system twierdzeń.
III Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.
Jeżeli wielomian ma pierwiastek całkowity to musi on dzielić wyraz wolny.
x3 - 9x2 + 15x - 7 = 0 jeżeli x0 ∈ C ⇒ x0 | 7 czyli x0∈{±1,±7}
Spr. W(1) = 1 - 9 + 15 - 7 = 16 - 16 = 0
IV Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
x0 ∈ W ⇒ x0 = n/m ∧ n | a0 ∧ m | an
2x3 - 5x2 - 4x + 3 = 0
x0 ∈ W => x0 = n/m ∧ n | 3 ∧ m | 2 => x0 ∈ {±&u1-2;;±1&u1-2;}
V Twierdzenie o podziale wielomianów - Tw.Bezou
W(x0) = 0 ⇔ (x-x0) | W(x)
x0 jest pierwiastkiem wielomianu ⇔ gdy wielomian jest podzielny przez (x-x0)
W(x) = 2x3 - 5x -4x + 3; x0 ∈ { ±1;±3}-III Tw.
W(3) = 2*27 - 5*9 - 12 + 3 = 54 - 45 -12 + 3 = 57 - 57 = 0
dzielnik W(x) to (x-3), po przeprowadzeniu dzielenia wynik jest równy 2x2 + x - 1
W(x) = (x - 3)*(2x2 + x -1) = 0 ⇔ (x-3) = 0 ∨ (2x2+ x - 1) = 0
5.NIerówności wielomianowe
a) Aby rozwiązać nierówność W(x)≥ 0 rozwiązujemy najpierw równanie:
W(x) = 0
b) Rozkładamy zatem wielomiany na czynniki liniowe i kwadratowe W(x) = W1 * W2...
Znajdujemy wszystkie miejsca zerowe, zwracając uwagę na krotność pierwiastków.
W(x) = (x-2)(x-2)(x2 + 5) x0=2 pierwiastek dwukrotny
c) szkicujemy wykres wielomianu
Jest to wykres typu "fala" zależy od stopnia wielomianu.
Przy szkicowaniu bierzemy pod uwagę znak przy najwyższej potędze "x", wykres szkicujemy od prawej strony.
W miejscach zerowych o nieparzystej krotność wielomian zmienia znak!
Niech W(x) = (x-1)(x-2)(x-2)
(zmienia znak i przecina oś)
natomiast w miejscu zerowym o parzystej krotności wielomian nie zmienia znaku.
(nie zmienia znaku, dotyka osi - odbija się od osi)
d) zaznaczamy znaki na wykresie.
- znaki robimy między wykresem a osią X.
- odczytujemy potrzebne przedziały w których wielomian przybiera odpowiedajace nierówności wartości.