matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Liczby dziesiętne.

Liczby dziesiętne to liczby wymierne, które można przedstawić za pomocą ułamków o mianownikach będących naturalnymi potęgami 10, czyli w postaci ułamków dziesiętnych, w których występuje skończona liczba cyfr. Liczby dziesiętne tworzą pierścień zawarty w ciele liczb wymiernych. Liczba wymierna p/q (zapisana w postaci nieskracalnej) daje się zapisać w postaci ułamka dziesiętnego, gdy q=2n*5k. W przeciwnym wypadku liczba może być przedstawiona w postaci ułamka dziesiętnego okresowego.

Liczba zero to element neutralny dodawania liczb, tj. taki element x, który dla każdej liczby a spełnia warunek a+x=a. Używając metod teorii zbiorów, można także określić zero jako liczbę elementów zbioru pustego. Zero pojawiło sie w matematyce stosunkowo późno, prawdopodobnie w VII lub VIII wieku, gdy Hindusi wprowadzili pozycyjny system zapisu liczb. Przez kilka stuleci używano zera jedynie jako cyfry, znaku zastępującego puste miejsce w zapisie pozycyjnym. Dopiero w XVI-XVII wieku wraz z ukształtowaniem reguł rachunkowych na liczbach i wprowadzeniem oznaczeń literowych liczb, liczba zero stała się liczbą równouprawnioną z innymi liczbami całkowitymi. Zależnie od umowy liczba zero jest uważana za liczbę naturalną lub nie.

Liczby całkowite to liczby ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Zbiór liczb całkowitych oznacza się zazwyczaj symbolem Z. W podręcznikach szkolnych używa się czasem symbolem C. Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym zbiorem zawierającym liczby naturalne, w którym można wykonywać działania dodawania i odejmowania. Zbiór ten dzieli się na podzbiór liczb naturalnych, tj. liczb całkowitych dodatnich, podzbiór liczb całkowitych ujemnych oraz podzbiór złożony ze zbioru jednoelementowego - z liczby zero. Prócz działań dodawania i odejmowania, na liczbach całkowitych jest określone jeszcze działanie mnożenia, natomiast dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze tych liczb, tzn. iloraz dwóch liczb całkowitych może nie być określony lub nie być liczbą całkowitą. Liczby całkowite stanowią pierścień względem działań dodawania i mnożenia. W arytmetyce teoretycznej występują dwie definicje liczb całkowitych:

Definicja Grassmanna liczb całkowitych. W zbiorze par (m, n) liczb naturalnych określa się relację: dwie pary (m, n) i (m', n') uważa się za równoważne, jeżeli spełniają warunek m+n'=n+m'. Relacja ta jest równoważnością, a zatem dzieli zbiór wszystkich par na rozłączne klasy; każdą z tych klas nazywa się liczbami całkowitymi. Klasę, do której należy para (m, n), oznacza się symbolem m-n.

Definicja aksjomatyczna liczb całkowitych.

 

Liczby dodatnie, to liczby większe od zera. W zbiorze liczb dodatnich są wykonalne działania dodawania, mnożenia, dzielenia, a więc suma, iloczyn i iloraz liczb dodatnich są liczbami dodatnimi. Liczby rzeczywiste mniejsze lub równe zeru są nazywane liczbami niedodatnimi. Liczby nieujemne to liczby rzeczywiste większe lub równe zeru.

Liczba e, Liczba Nepera, liczba będąca granicą ciągu liczbowego nieskończonego (1+1/n)n

e=lim n->∞ (1+1/n)n

e=2,718281828....

Oznaczenie jej wprowadził w 1736 matematyk szwajcarski L. Euler, przybliżoną wartość obliczył w 1728 matematyk szwajcarski D. Bernoulli. Liczba e jest liczbą niewymierną, a nawet przestępną (dowód przestępności liczby e podał w 1873 matematyk francuski Ch. Hermite). Liczba e jest również sumą szeregu e=Σ od n=0 do ∞ (1/n!). Ma ona duże zastosowanie w matematyce; jest podstawą logarytmu naturalnego ln x = logex, oraz podstawą funkcji wykładniczej ex=lim n->∞ (1+x/n)n. Własność funkcji f(x)=ex z punktu widzenia róniczkowalności (tj. fakt, że (ex)'=ex) ma duże znaczenie w teorii równań różniczkowych.