Dzielenie.
Dzielenie to działania arytmetyczne, działanie dwuargumentowe przyporządkowujące dwóm liczbą a, b, z których druga jest różna od zera, liczbę c taką, że b*c=a. Dzielenie jest działaniem pozwalającym znaleźć drugi czynnik, gdy dany jest iloczyn i jeden a czynników. Podzielić liczbę a przez liczbę b oznacza znaleźć taką liczbę x, że a=b*x. Wynik dzielenia nazywa się ilorazem. Liczbę a nazywa się dzielną, a liczbę b - dzielnikiem. Dzielenie liczby a przez b oznacza się a:b lub za pomocą kreski ułamkowej a/b. Oznaczenie dzielenia za pomocą dwóch kropek wprowadził w 1684r. niemiecki filozof i matematyk G.W.Leibniz. Mówi się, że dzielenie jest wykonalne (lub określone) w danym zbiorze U, jeśli iloraz dwóch dowolnych liczb ze zbioru U, z których druga jest różna od zera, także jest liczbą należącą do tego zbioru. W przeciwnym wypadku dzielenie jest niewykonalne w zbiorze U, np. dzielenie w zbiorze liczb całkowitych różnych od zera nie jest wykonalne, bo 15/6=2,5, a ta liczba nie jest liczbą całkowitą, dzielenie jest natomiast wykonalne w zbiorze liczb wymiernych różnych od zera.
Mnożenie.
Mnożenie - działanie arytmetyczne, działanie dwuargumentowe przyporządkowyjące dwóm liczbom a i b liczbę c=a*b. Liczba otrzymana w wyniku mnożenia liczb całkowitych dodatnich a i b określa sumę, którą otrzyma się dodając a razy liczbę b, a*b=b+b+...+b, (lub b razy liczbę a). Geometrycznie liczba a*b określa pole prostokąta o bokach a i b. Wynik mnożenia nazywa się iloczynem, a mnożone liczby czynnikami. Dla oznaczenia mnożenia używa się znaku "x" (razy), wprowadzonego w 1631r. przez matematyka angielskiego W.Oughtreda. Znak kropki wprowadził w 1698r. niemiecki filozof i matematyk G.W.Leibniz. Często opuszcza się te znaki, pisząc po prostu ab zamiast a*b. Przy mnożeniu są spełnione następujące prawa (prawa mnożenia):
1. Prawo przemienności mnożenia - dla dwóch dowolnych liczb a i b, zachodzi a*b=b*a,
2. Prawo łączności mnożenia - dla dowolnej trójki liczb a, b, c zachodzi a*(b*c)=(a*b)*c,
3. Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania - dla dowolnej trójki liczb a, b, c zachodzi (a+b)*c=a*c+b*c,
4. Prawo rozdzilności mnożenia względem odejmowania - dla dowolnej trójki liczb a, b, c zachodzi (a-b)*c=a*c-b*c.
Elementem neutralnym względem mnożenia jest liczba 1 (jeden). Nazywa się ją także modułem mnożenia. Mnożenie sposobem pisemnym polega na skróconym zapisie mnożenia wykonywanego w ten sposób, że jeden z czynników przedstawia się w postaci sumy: jednostki + dziesiątki + setki + ..., a następnie mnoży się każdy składnik tej sumy przez drugi czynnik. Algorytm mnożenia pisemnego można określić w trzech punktach:
1. jeśli oba czynniki są liczbami mniejszymi od 10, to iloczyn odczytuje się z dziesiętnej tabeli mnożenia,
2. jeśli tylko jedna z liczb, np b, jest liczbą naturalną mniejszą od 10, to wtedy mnoży się jednostki liczby a przez liczbę b i jeśli wynik jest większy od 9, zapisuje się resztę z dzielenia tego wyniku przez 10 oraz zapamiętuje się, ile było pełnych dziesiątek, następnie mnoży się liczbę b przez dziesiątki liczby a i do wyniku dodaje się dziesiątki pamiętane z poprzedniego mnożenia, w podobny sposób przechodzi się do rzędu setek, itd,
3. jeśli oba czynniki a i b są liczbami naturalnymi większymi od 9, to mnożąc pisemnie a przez b zapisuje się liczbę b pod liczbą a, umieszczając jednostki pod jednostkami, dziesiątki pod dziesiątkami, itd., podkreśla się je i pod kreską w pierwszym sierszu zapisuje się lioczyn liczby a przez jednostki liczby b, potem w drugim wierszu, począwszy od pozycji dziesiątek, zapisuje się iloczyn liczby a przez dziesiątki liczby b, itd., po wyczerpaniu wszyctkich cyfr liczby b dodaje się zapisane w wierszach iloczyny, ich suma jest wynikiem a*b.
Dodawanie.
Dodawanie - działanie arytmetyczne, działanie dwuargumentowe przyporządkowujące dwóm liczbom a, b liczbę c=a+b. Wynik dodawania nazywa się sumą, dodawane liczby nazywa się składnikami sumy. Działanie dodawania oznacza się znakiem "+" (plus), wprowadzonym w 1489 przez matematyka niemieckiego J.Widmanna. Przy dodawaniu są spełnione następujące prawa (prawa dodawania):
1. Prawo przemienności dodawania - dla dowolnych dwóch liczb a, b zachodzi a+b=b+a,
2. Prawo łączności dodawania - dla dowolnej trójki liczb a, b, c zachodzi (a+b)+c=a+(b+c),
3. Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania - dla dowolnej trójki liczb a, b, c zachodzi a*(b+c)=a*b+a*c.
Elementem neutralnym dla dodawania jest liczba zero. Nazywa się ją także modułem dodawania. Algorytm dodawania sposobem pisemnym jest oparty na pozycyjnym systemie zapisu liczb - dodaje się dwie liczby tak, że jedności dodaje się do jedności, dziesiątki do dziesiątek, setki do setek itd. Należy przy tym pamiętać, że dziesięć jednostek niższego rzędu stanowi jedną jednostkę następnego, wyższego rzędu (tak jak w dziesiątkowym systemie liczbowym, natomiast np. w systemie trójkowym trzy jednostki jednego rzędu dają jednostkę następnego, wyższego rzędu).
Odejmowanie.
Odejmowanie - działanie arytmetyczne, działanie dwuargumentowe przyporządkowujące dwóm liczbom a, b liczbę c taką, że b+c=a. Mówi się, że od liczby a odejmuje się liczbę b. Odjąć liczbę b od liczby a, tzn. znaleźć taką liczbę x, że a=b+x. Liczba a nazywa się odjemną, natomiast liczba b odjemnikiem.Wynik odejmowania dwóch liczb nazywa się różnicą tych liczb. Znak "-" (minus), którym oznacza się działanie odejmowania został wprowadzony w 1489r. przez matematyka niemieckiego J.Widmanna. Dla odejmowania jest spełnione prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania: dla dowolnej trójki liczb a, b, c zachodzi a*(b-c)=a*b-a*c. Algorytm odejmowania pisemnego, podobnie jak algorytm dodawania, jest oparty na pozycyjnym systemie zapisu liczb. Odejmuje się jednostki od jednostek, dziesiątki od dziesiątek, itd. W przypadku gdy w jakimś rzędzie od mniejszej cyfry musi się odjąć większa, wówczas z następnego, wyższego rzędu przenosi się jedną jednostkę do niższego, zamieniając ją na dziesięć jednostek niższego rzędu.
Arytmetyka.
Arytmetyka to nauka o liczbach, w pierwszej kolejności - o liczbach naturalnych i ułamkach oraz prawach działań nad nimi. Rozróżnia się arytmetykę praktyczną i arytmetykę teoretyczną.
Arytmetyka praktyczna opisuje metody zapisywania liczb za pomocą odpowiednio dobranych znaków (cyfr, kresek ułamkowych, przecinków, nawiasów) i wykonywania działań artymetycznych (dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia) oraz potęgowania i pierwiastkowania na tak zapisanych liczbach. Nie interesuje się natomiast ani rozwojem pojęcia liczby, ani określeniem tego pojęcia. Arytmetyka praktyczna leży u podstaw nauczania matematyki i występuje we wszystkich programach szkolnych - w starych programach pod nazwą "rachunki", w nowszych pod nazwą "arytmetyka".
Arytmetyka teoretyczna zajmuje się zagadnieniem definicji liczb i działań na liczbach. W odróżnieniu od geometrii, zaksjomatyzowanej już w starożytności, arytmetyka (liczb całkowitych i wymiernych) rozwijała się żywiołowo, bez teoretycznej podbudowy. Myśl zaksjomatyzowania arytmetyki pojawiła się dopiero pod koniec XIX w. Pierwszą aksjomatykę liczb naturalnych podał matematyk włoski G.Peano. Za pomocą liczb naturalnych zostały kolejno określone liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste. Matematyk niemiecki D.Hilbert odwrócił tę kolejność: zaproponował aksjomatykę liczb rzeczywistych i opierając się na tej aksjomatyce określił kolejno liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne. W nauczaniu szkolnym żadna z tych aksjomatyk nie występuje. Nauka, która zajmuje się własnościami indywidualnych liczb naturalnych, nosi nazwę teorii liczb.
Działania arytmetyczne to działania dwuargumentowe, które dwóm danym liczbom przyporządkowują trzecią liczbę (wynik działania). W arytmetyce rozpatruje się cztery działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.