matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Pojęcie pierwotne. Punk, prosta, płaszczyzna i przestrzeń w geometrii euklidesowej są to elementarne, podstawowe figury geometryczne, których nie da się w żaden sposób zdefiniować. Relacja pomiędzy punktem i prostą, czyli, że punkt leży na prostej także nazywamy pojęciem pierwotnym. Każdy potrafi sobie wyobrazić te pojęcia, jednak ciężko je jednoznacznie opisać używając zdefiniowanych już wcześniej pojęć. Pojęciem pierwotnym w teorii mnogości są zbiory i relacje między nimi.

W matematyce rozważamy zbiory, zbiory są pojęciem pierwotnym, mogą to być zbiory liczbowe zbiory funkcji, etc. Natomiast zmienna nazwowa to litera oznaczająca dowolny element ze zbioru.

Rachunek zdań to dział logiki matematycznej badający związki między zdaniami lub funkcjami zdaniowymi utworzonymi za pomocą spójników zdaniowych ze zdań lub funkcji zdaniowych prostszych. Rachunek zdań określa sposoby stosowania spójników zdaniowych w poprawnym wnioskowaniu. w klasycznym rachunku zdań przyjmuje się założenie, że każdemu zdaniu można przypisać jedną z dwu wartości logicznych - prawdę lub fałsz, które umownie przyjęto oznaczać 1 lub 0. Dlatego klasyczny rachunek zdań nazywa się dwuwartościowym rachunkiem zdań. W rachunku zdań treść rozpartywanych zdań nie ma znaczenia, ważna jest jedynie ich wartość logiczna. Wartość logiczna zdań złożonych powstałych przez zastosowanie spójników zdaniowych określa funkcja prawdziwościowa, związana z każdym spójnikiem zdaniowym. Wartość ta zależy wyłącznie od prawdziwości lun fałszywości zdań składowych, nie zależy natomiast od ich treści. Szczególną rolę w rachunku zdań odgrywają takie zdania złożone, których wartość logiczna jest równa jeden, niezależnie od tego, jakie wartości logiczne mają zdania proste, z których są one zbudowane. Takie zdania nazywa się prawami (tautologiami) rachunku zdań. Wiele praw klasycznego rachunku zdań znano w starożytności. Rachunkiem zdań zajmowano się również w średniowieczu. Współczesne, sformalizowane ujęcie rachunku zdań po raz pierwszy podał w 1879 roku logik niemiecki G.L. Frege. Niemałą rolę w rozwoju rachunku zdań odegrali też logicy polscy, a wśród nich głównie J. Łukasiewicz.

Sformalizowany język rachunku zdań to ściśle zdefiniowany język, w którym sformułowany jest współczesny rachunek zdań. Znakami alfabetu sformalizowanego języka rachunku zdań są symbole zmiennych zdaniowych (p, q, r, ...), symbole spójników logicznych (\/, /\, ¬, =>, <=>) oraz nawiasy. Zmienne zdaniowe są wyrażeniami zerowego stopnia sformalizowanego języka rachunku zdań, wyrażeniami stopnia n+1 są wyrażenia mające postać: α\/β, α/\β, ¬α, α=>β, α<=>β, gdzie α, β są wyrażeniami stopnia co najwyżej n lub takimi wyrażeniami wziętymi w nawias. Na przykład wyrażenie (¬p)=>q jest wyrażeniem drugiego stopnia, a wyrażenie ¬(p\/q)/\(p\/r) jest wyrażeniem trzeciego stopnia. Sformalizowany język rachunku zdań nazywa się językiem zerowego rzędu. Na szczególną uwagę zasługuje beznawiasowa symbolika logiczna, wprowadzona przez logika polskiego J. Łukasiewicza i nazwana od nazwiska jej twórcy symboliką Łukasiewicza albo symboliką polską lub odwrotną notacją polską. Zgodnie z tą symboliką spójnik zdaniowy (oznaczony symbolem literowym: A - alternatywa, K - koniunkcja, N - negacja, C - implikacja, E - równoważność) umieszcza się zawsze przed argumentem lub argumentami tego spójnika. Na przykład zdanie p\/q w symbolice Łukasiewicza ma postać Apq. Podobnie zamiast p/\q można napisać Kpq. Zdanie ¬(p/\q)<=>(¬p\/¬q) w symbolice Łukasiewicza ma postać ENKpqANpNp. Symbolika Łukasiewicza jest stosowana w programowaniu elektronicznych maszyn cyfrowych.

Prawa rachunku zdań, tautologie rachunku zdań to zdania sformalizowanego języja rachunku zdań, których wartość logiczna, niezależna od wartości logicznych występujących w nich zdań prostych, jest równa 1. Istnieje ogólna metoda sprawdzania, czy dane zdanie jest prawem rachunku zdań. Jest to tzw. metoda zerojedynkowa, która polega na rozpatrzeniu wszystkich możliwych przypadków logicznych zdań prostych. Jeśli w jakimś przypadku okaże się, że wartość logiczna rozpatrywanego zdania będzie równa zero, to nie jest ono prawem rachunku zdań. W przeciwnym razie zdanie jest prawem rachunku zdań.

Zmienna zdaniowa to litera, którą w danej nauce może oznaczać dowolne zdanie. Zmienna zdaniowa podobnie jak zdanie może przyjmować jedną z wartości logicznych, zależnie od tego jakie ona zdanie oznacza. 

Jeśli za zmienna zdaniową q podstawiono zdanie prawdziwe, mówimy wtedy, że dokonano podstawienia p=1, jeśli natomiast za q podstawiono zdanie fałszywe, mówimy wtedy, że podstawiono q=0.

Logika zajmuje się związkami pomiędzy zdaniami. Zdaniem w logice nazywamy wypowiedź sensowną i oznajmującą, czyli taką, w której w zakresie danej nauk możliwe jest przypisanie oceny prawdy lub fałszu i tylko jednej z tych ocen. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1 (jeden), natomiast fałsz oznaczamy cyfrą 0 (zero). Zdania oznaczane są małymi literami (p, q,...). 

Jeśli zdanie p jest zdaniem prawdziwym, to mówi się wtedy, że wartość logiczna zdania p jest równa jeden. Zapis matematyczny: w(p)=1.

Natomiast jeśli zdanie p jest zdaniem fałszywym, to mówi się wtedy, że wartość logiczna zdanie p jest równa zeru. Zapis matematyczny: w(p)=0.

W uwagi na niedopuszczenie innych wartość zdania niż jeden i zero, logikę rozpatruje się jako logikę dwuwartościową.