nowa matematyka
wiedzmin
reklamy
hydrografika

Pisemny egzamin dojrzałości z matematyki
W szkołach dla młodzieży w województwie dolnośląskim
7 maja 2003, godzina 900
Wariant II


Zadanie 1

Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=x2-2kx+k2-1.

a) Dla k=1 rozwiązać algebraicznie i graficznie nierówność f(x)-|x|<0.

b) Suma kwadratów pierwiastków równania f(x)=0 jest równa 100. Obliczyć k.

c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których funkcja f ma dwa miejsca zerowe należące do przedziału (-2;4).

Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Zadanie 2

Różne od zera liczby a, b, c, d są kolejnymi początkowymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.

a) Obliczyć iloraz tego ciągu wiedząc, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest trzy razy większa od sumy pierwszego i trzeciego wyrazu.

b) Dla a=9 i b=3 obliczyć sumę logarytmów o podstawie 3 dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów danego ciągu.

c) Obliczyć a, b, c, d, jeśli a+b+c=26, zaś liczby a+2, b+4 i c-2 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Zadanie 3

Dana jest funkcja f(x)=(3x2-1)(x+1).

a) Rozwiązać równanie f(tgx)=0, dla x∈<0;2π>.

b) Rozwiązać nierówność f(3x)-2(3x+1)≤0.

c) Wyznaczyć dziedzinę funkcji g(x)=logxf(x).

Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Zadanie 4

W układzie współrzędnych dane są punkty A(0,-2), B(8,2), C(4,5).

a) Obliczyć sinus najmniejszego z kątów trójkąta ABC oraz pole tego trójkąta.

b) Czworokąt ABCD jest trapezem, którego kąt BAD jest prosty. Wyznaczyć współrzędne punktu D.

c) Punkt E leży na symetralnej odcinka AB i pole trójkąta ABE jest równe 50. Wyznaczyć współrzędne punktu E.

Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Zadanie 5

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny.

a) Pole powierzchni całkowitej danego ostrosłupa Pc=864 i pole powierzchni bocznej Pb=540. Obliczyć objętość tego ostrosłupa.

b) Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, a suma długości wszystkich krawędzi danego ostrosłupa jest równa 48. Obliczyć cosinusy kątów dwuściennych tego ostrosłupa.

c) Pole powierzchni bocznej danego ostrosłupa jest równe P, zaś kąt ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę 2α. Wyznaczyć pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa.

Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Do rozwiązania należy wybrać trzy spośród pięciu zadań. Aby otrzymać ocenę pozytywną, należy uzyskać co najmniej 16 punktów, w tym poprawnie rozwiązać dwa dowolne podpunkty z wybranych zadań.

Kryteria ocen:

Celujący: 44-45 pkt.

Bardzo dobry: 41-43 pkt.

Dobry: 33-40 pkt.

Dostateczny: 23-32 pkt.

Dopuszczający: 16-22 pkt.

Niedostateczny: 0-15 pkt.



Rozwiązania

Zadanie 1a)
f(x) = x2-2kx+k2-2x
k = 1 ⇒ f(x) = x2-2x
x2-2x-|x| < 0
|x| =


x ≥ 0 innaczej x∈<0;∞)
x2-2x-(+x) < 0
x2-2x-x < 0
x2-3x < 0
x2-3x = 0
Δ = (-3)2-4*1*0 = 9

x1 =
x2 =
lub której:
x2-3x = 0
x(x-3) = 0

x1 = 0   lub  x2 - 3 = 0
                    x2 = 3

x2-3x < 0 ⇔ x∈(0;3)


x < 0 innaczej x∈(-∞;0)
x2-2x-(-x) < 0
x2-2x+x < 0
x2-x < 0
x2-x = 0
Δ = (-1)2-4*1*0 = 1-0 = 1
= 1
x1 =
x2 =
lub krócej:
x2-x = 0
x(x-1) = 0

x1 = 0   lub   x2 - 1 = 0

x2 - x <0 ⇔ x ∈ ø

Łacznie (0;3) ∨ ø = (0;3)

Odp.: x∈(0;3)

Rozwiązanie graficzne

f(x) < |x|
f(x) = x2-2x
x2-2x = 0
x(x-2) = 0
x1 = 0 lub x2 = 2


Zadanie 1b)
Wprowadzamy zależność na sumę kwadratów
(x1+x2)2 = x12+2x1x2+x22
(x1+x2)2-2x1*x2 = x2+x22
Gdzie:
(x1+x2)2 =
x1*x2 =
Ze wzorów Viete'a
x12+x22 =
x12+x22 = 100
f(x) = x2-2kx+k2-1
Δ = (-2k)2-4*1(k2-1) = 4k2-4k2+4 = 4
Δ > 0 dla każdego k.
a = 1
b = -2k
c = k2-1
x12+x22=
100 =
100 = (2k)2-2(k2-1)
100 = 4k2-2k2+2
4k2-2k2+2-100 = 0
2k2-98 = 0 /:2
k2-49 = 0
k2 = 49
k = = 7
k = = -7

Zadanie 1c)
x = ?
x0∈(-2;4)
f(x) = x2-2kx+k2-1
Δ = (-2k)2-4*1(k2-1) = 4k2-4k2+4 = 4
= = 2
x1 =
x2 =

-2 < x1,2 < 4


x1 > - 2                x1 < 4
x2 > - 2                x2 < 4


x1 > - 2                 x1 < 4
x1 = k1 - 1            x1 = k1 - 1     
k1 - 1 > - 2           k1 - 1 < 4
k1 > - 1                 k1 < 5

k1∈  (- 1 ; 5)

x2 > - 2                 x2 < 4
x2 = k + 1             x2 = k + 1
k + 1 > - 2            k + 1 < 4
k > - 3                   k < 3

k2∈(-3;3)


Odp: k∈(-1;3)


Zadanie 2a)
a = a1*q
b = a1*q2
c = a1*q3
d = a1*q4
b+d = 3(a+c)
(a1*q2)+( a1*q4) = 3[(a1*q)+(a1*q3)]
(a1*q2)+( a1*q4) = 3(a1*q)+3(a1*q3) / :a1
q2+q4 = 3q+33
(q4-3q3)+(q2-3q) = 0
q3(q-3)+q(q-3) = 0
(q-3)(q3+q) = 0
1° q-3 = 0
q = 3
2° q3+q = 0
q(q2+1) = 0
q = 0 (odrzucamy) lub q2 = -1 (sprzeczne)
Odp: q = 3.


Zadanie 2b)
a = 9
b = 3
q = b/a = 3/9 = 1/3 => c = 1; d = 1/3
an = (9, 3, 1, 1/3, 1/9, ... )
a10 = (9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, 1/243, 1/729, 1/2187)
a10 = (32, 31, 30, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 3-7)
S10 = log332 +log331 +log330 +log33-1 +log33-2 +log33-3 +log33-4 +log33-5 +log33-6 +log33-7
S10 = 2*log33 +1*log33 +0*log33 -1*log33 -2*log33 -3*log33 -4*log33 -5*log33 -6*log33 -7*log33
S10 = (2+1+0-1-2-3-4-5-6-7)*log33 S10 = -25*1 = -25
Odp: S10 = -25.


Zadanie 2c)
a+b+c = 26
a, b, c – ciąg geometryczny
a+2, b+4, c-2 – ciąg arytmetyczny
1) a+b+c = 26
2) średnia arytmetyczna

2(b+4) = (a+2)+(c-2)
3) średnia geometryczna

b2 = ac

q = b/a; d = c*q
q1 = 6/18 = 1/3; d1 = 2*1/3 = 2/3
q2 = 6/2 = 3; d2 = 18*3 = 54
Odp: Kolejne wyrazy ciągu to: (18, 6, 2, 2/3) lub (2, 6, 18, 54).











Dzisiaj mamy:
piątek, 28 kwietnia 2017
Znane cytaty:
Słyszałem i zapomniałem.
Widziałem i zapamiętałem.
Zrobiłem i zrozumiałem. Konfucjusz
Uwaga
Portal posiada rozgraniczenia, między częścia czystą-dopracowaną a brudną-niedopracowaną. Wszystkie linki do dokumentów "brudnych" są koloru szarego.
Chcesz pomoc?
Jesli chcialbys pomoc w rozwiazywaniu zadan potrzebujacym, podaj swoj adres e-mail:


Szukaj w portalu
Wpisz słowo lub wyrażenie do szukania:

Gdzie szukać:
Copyright © 1999-2006 matematyka.net

matma.net.cgi v1.0