nowa matematyka
wiedzmin
reklamy
hydrografika

Pisemny egzamin dojrzałości z matematyki
w szkołach dla młodzieży
7 maja 2003, godzina 900
Wariant I


Zadanie 1.
Dany jest wielomian W(x)=x3-7x2+ax+b.
a) Wyznaczyć wartości parametrów a i b wiedząc, że liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W.
b) Dla a=-4 i b=3 rozwiązać nierówność W(x)+7x2≤0.
c) Reszta z dzielenia wielomianu W przez x-1 jest równa 2 oraz W(0)=0.
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość tego wielomianu w przedziale <2;6>.
Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Zadanie 2
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny
a) Dla x=12 obliczyć sumę logarytmów dziesiętnych dwudziestu początkowych kolejnych wyrazów danego ciągu.
b) Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których dany ciąg jest zbieżny.
c) Sporządzić wykres funkcji S(x) oznaczającego sumę wszystkich wyrazów danego ciągu.
Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Zadanie 3
Dana jest funkcja f(x)=cos2x.
a) Rozwiązać równanie f(x) + sin x  cos x - 1 = 0 dla x ∈ <3π;5π>.
b) Wyznaczyć zbiór wartości funkcji g(x)=sin x - f(x) - 1 .
c) Rozwiązać nierówność 2f(2x) - 3 f ’ (x) < 0, dla x∈<0;π>.
Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Zadanie 4
Dany jest trójkąt równoramienny.
a) Obliczyć odległość środka okręgu opisanego na tym trójkącie od jego podstawy jeśli podstawa danego trójkąta ma długość 8, zaś ramie .
b) Obliczyć długość odcinków, na jakie dwusieczna kąta przy podstawie dzieli ramię trójkąta, jeśli podstawa tego trójkąta ma długość , zaś kąt między ramionami ma miarę 120°.
c) Obliczyć pole danego trójkąta jeśli jego podstawa ma długość 2a, zaś stosunek długości wysokości opuszczonej na tę podstawę do długości promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt jest równy P.
Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Zadanie 5
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a.
a) Wyznaczyć objętość tego ostrosłupa, jeżeli pole jego powierzchni całkowitej równa się .
b) Krawędź boczna danego ostrosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Obliczyć cosinusy kątów dwuściennych w tym ostrosłupie.
c) Ściana boczna danego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α a takim, że . Wyznaczyć promień kuli wpisanej w dany ostrosłup.
Punktacja a) 4p., b) 5p., c) 6p.

Do rozwiązania należy wybrać trzy spośród pięciu podanych zadań.
Aby otrzymać pozytywną ocenę, należy uzyskać co najmniej 16 punktów, w tym poprawnie rozwiązać dwa dowolne podpunkty z wybranych do oceny zadań.

Kryteria ocen:
celujący: 44-45 pkt.
bardzo dobry: 41-43 pkt.
dobry: 33-40 pkt.
dostateczny: 23-32 pkt.
mierny: 16-22 pkt.
niedostateczny: 0-15 pkt.


Rozwiązania:

Zadanie 1a)
W(x) = x3-7x2+ax+b.
Liczba 2 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x), zatem wielomian ten można przedstawić w postaci:
W(x) = (x-2)2(x-k), gdzie k ≠ 2.
W(x) = (x-2)2(x-k)
W(x) = (x2-4x+4)(x-k)
W(x) = x3-kx2-4x2+4kx+4x-4k
W(x) = x3+(-k-4)x2+(4k+4)x-4k
Korzystamy z twierdzenia o wielomianach równych:
-k-4 = -7 ∧ 4k+4 = a ∧ -4k = b
k = 3 ∧ a = 16 ∧ b = -12
Odp. a = 16 i b = -12


Zadanie 1b)
Dla a = -4 i b = 3 wielomian W(x) przyjmuje postać:
W(x) = x3-7x2-4x+3.
W(x)+7x2 ≤ 0 <=> x3-7x2-4x+3+7x2 ≤ 0
x3-4x+3 ≤ 0
x3-x-3x+3 ≤ 0
x(x2-1)-3(x-1) ≤ 0
(x-1)[(x(x+1)-3] ≤ 0
(x-1)(x2+x-3) ≤ 0
Rozkładamy trójmian x2+x-3 na czynniki:
Δ = 13,
x2+x-3 = .
Nierówność przyjmuje postać:

.
Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór .


Zadanie 1c)
W(x) = x3-7x2+ax+b.
W(0) = 0
W(0) = b, zatem b = 0
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-1 jest równa 2, zatem W(1) = 2;
W(1) = a+b-6, stąd a+b-6 = 2.
Rozwiązujemy układ równań

Wielomian W(x) ma postać:
W(x) = x3-7x2+8x, jest on funkcją ciągłą i różniczkowalną w zbiorze R.
Wyznaczymy ekstrema wielomianu W(x) w przedziale otwartym (2;6).
W’(x) = 3x2-14x+8 ∧ x ∈ (2;6)
W’(x) = 0 ⇔ 3x2-14x+8 = 0 ∧ x ∈ (2;6)
Δ = 100
x1 = 2/3 ∉ (2;6) ∨ x2 = 4 ∈ (2;6)
W’’(x) = 6x-14 ∧ x ∈ (2;6)
W’’(4) =10 > 0,
Zatem w punkcie x = 4 jest minimum równe W(4) = -16.
Obliczamy W(2) = -4 i W(6) = 12.
Spośród wartości W(2), W(4) i W(6) wybieramy wartość najmniejszą i wartość największą.
Odp. W przedziale <2;6> wielomian W(x) przyjmuje wartość najmniejszą równą -16 w punkcie x = 4 i wartość największą równą 12 w punkcie x = 6.


Zadanie 2a)

x ≠ 2
Dla x = 12 rozpatrywany ciąg geometryczny określony wzorem
.
S = log a1 + log a2 + ... + log a20 =
= log(a1*a2*...*a20) =
= log(a1*a1q*a1q2*...*a1q19) =
= log(a120*q1+2+...+19)

1+2+...+19 = = 190
(suma 19 kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego), zatem

Odp. Suma logarytmów dziesiętnych dwudziestu początkowych wyrazów ciągu wynosi S = -190.


Zadanie 2b)
q – iloraz ciągu geometrycznego

Rozpatrywany ciąg geometryczny jest zbieżny wtedy, gdy
1° q = 1 lub 2° |q| < 1.

q = 1 ⇔ = 1 ∧ x ≠ 2
x = 3

|q| < 1 ⇔ < 1 ∧ x ≠ 2
< 1, bo i b ≠ 0
|x-2| > 1, dla każdego x ≠ 2: |x-2| > 0
x ∈ (-∞;1) ∪ (3;+∞)
zatem x = 3 ∨ x ∈ (-∞;1) ∪ (3;+∞)
x ∈ (-∞1) ∪ <3;+∞)
Odp. Dla x ∈ (-∞1) ∪ <3;+∞) dany ciąg jest zbieżny.


Zadanie 2c)
Rozpatrywany ciąg geometryczny ma pierwszy wyraz a1 = 1 i iloraz .
Suma S(x) istnieje wtedy, gdy |q| < 1 i jest równa

|q| < 1 ⇔ < 1 ∧ x ≠ 2
< 1, bo i b ≠ 0
|x-2| > 1, dla każdego x ≠ 2: |x-2| > 0
x ∈ (-∞;1) ∪ (3;+∞)

Zatem S(x) = 1+ i x ∈ (-∞;1) ∪ (3;+∞)
Aby otrzymać wykres funkcji y = 1+, należy wykres funkcji y = przesunąć o wektor [3,1].
Wykres funkcji y = 1+



Zadanie 3a)
f(x) =cos2x
f(x)+sinxcosx-1 = 0 i x ∈ <3π;5π>
cos2x+sinxcosx-1 = 0
-1+cos2x+sinxcosx = 0
-(1-cos2x)+sinxcosx = 0
-sin2+sinxcosx = 0
-sinx(sinx-cosx) = 0
sinx = 0 ∨ sinx-cosx = 0
x = kπ, k∈C-1 = 0 i cosx ≠ 0
Jeżeli cosx = 0 i sinx-cosx = 0, to sinx = 0 i wówczas sin2x+cos2x = 0, otrzymujemy sprzeczność, bo sin2x+cos2x = 1.
tgx-1 = 0
tgx = 1
x = +lπ, l∈C
x = kπ, k∈C ∨ x = +lπ, l∈C
Uwzględniająć, że x∈<3π;5π>, otrzymujemy
Odp.


Zadanie 3b)
g(x) = sinx-f(x)-1
g(x) = sinx-cos2x-1
g(x) = sinx-(1-sin2)-1
g(x) = sin2x+sinx-2
g(x) = (sinx+0,5)2-2,25
Dla każdego
X ∈ R: -1 ≤ sinx ≤ 1

Obp. Zbiorem wartości funkcji g(x)=sinx-f(x)-1 jest przedział <-2,25;0>


Zadanie 3c)
2f(2x)-3f’(x) < 0 ∧ x &isin <0;π>
f(x) = cos2x
f’(x) = 2cosx*(-sinx) = -sin2x
2cos22x-3(-sin2x) < 0
2cos22x+3sin2x < 0
2(1-sin22x)+3sin2x < 0
2sin22x-3sin2x > 0
Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą
sin2x = p i p ∈ <-1;1>
Otrzymujemy nierówność kwadratową
2p2-3p-2 > 0
Δ = 25; p1 = -0,5; p2 = 2
p ∈ (-∞;-0,5) ∪ (2;+∞) ∧ p &ifin; <-1;1>
p ∈ <-1;-0,5)
p ≥ -1 ∧ p < -0,5
zatem sin2x < -0,5 ∧ x ∈ <0;π>

Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział .


Zadanie 4a)

a = 8
b = 4
d – odległość środka okręgu opisanego na trójkącie od podstawy trójkąta
R – promień okręgu opisanego
h – wysokość trójkąta poprowadzona do podstawy
wysokość twierdzenia Pitagorasa w ΔBCD:

h = 8
z twierdzenia cosinusów w ΔABC:
a2 = 2b2-2b2cosα

cosα = > 0 i α ∈ (0°;180°)
zatem α ∈ (0°;90°)
Trójkąt ABC jest trójkątem ostrokątnym, stąd środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest jego punktem wewnętrznym
h = d+R
P – pole trójkąta ABC
P = 0,5*a*h
P = 32

R = 5
d = h-R
d = 8-5
d = 3
Odp. Odległość środka okręgu opisanego na trójkącie do podstawy trójkąta wynosi 3.


Zadanie 4b)

b – długość ramienia, b = x+y
2α=120°
a = 1+
x = ?, y = ?
W ΔBCD:

W ΔABC na podstawie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego otrzymujemy
, zatem:

Odp. Dwusieczna kąta przy podstawie dzieli ramię trójkąta na odcinki o długości i 1.


Zadanie 4c)

r – promień okręgu wpisanego w ΔABC
h – wysokość poprowadzona do podstawy AB
P – pole ΔABC
h/r = p > 1
h = pr
P = 0,5*2*a*h
P = a*p*r = par ⇒ par = r(a+b)
pa = a+b
b = pa-a
b = a(p-1)

P=0,5*r(2a+2b)


Odp. Pole trójkąta wynosi .


Zadanie 5a)

P – pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

AB = AC = BC = a
V – objętość ostrosłupa
WE = h – wysokość ściany bocznej
WO = H – wysokość ostrosłupa

W trójkącie prostokątnym WOE:
H2+(OE) = h2
H2 = h2-(OE)2



Zadanie 5b)
2α - miara kąta między ścianami bocznymi

ściana boczna ostrosłupa

b, w – wysokość ściany bocznej ostrosłupa

P – pole ściany bocznej ostrosłupa



β - miara kąta między ścianą boczną i podstawą ostrosłupa
h – wysokość podstawy ostrosłupa





Zadanie 5c)


h – wysokość podstawy ostrosłupa
r – promień kuli wpisanej w ostrosłup
sin2α+cos2α = 1 / :sin2α

α∈(0°;90°), zatem ctgα>0, stąd ctgα=0,5


w ΔEOS;:



Opracowal: brylka
Dzisiaj mamy:
piątek, 28 kwietnia 2017
Znane cytaty:
Nie można oprzeć się wrażeniu, że formuły matematyczne mają niezależny od nas byt i inteligencję, że są mądrzejsze niż my sami, nawet mądrzejsze niż ich odkrywcy, i że możemy wywnioskować z nich więcej niż poprzednio w nich zawarto. Heinrich Rudolph Hertz
Uwaga
Portal posiada rozgraniczenia, między częścia czystą-dopracowaną a brudną-niedopracowaną. Wszystkie linki do dokumentów "brudnych" są koloru szarego.
Chcesz pomoc?
Jesli chcialbys pomoc w rozwiazywaniu zadan potrzebujacym, podaj swoj adres e-mail:


Szukaj w portalu
Wpisz słowo lub wyrażenie do szukania:

Gdzie szukać:
Copyright © 1999-2006 matematyka.net

matma.net.cgi v1.0